2012导数的综合应用精典例题解析

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1、《导数的综合应用精典例题解析》题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值例1:已知函数(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求实数的值;(2)求函数的极大值;解:(I)函数所以又曲线处的切线与直线平行,所以(II)令当x变化时,的变化情况如下表:[来源:学。科。网Z。X。X。K]+0—极大值由表可知:的单调递增区间是,单调递减区间是所以处取得极大值,例2:已知函数过曲线上的点的切线方程为y=3x+1。(1)若函数处有极值,求的表达式;(2)在(1)的条件下,求函数在[-3,1]上的最大值;(3)若函数在区间[

2、-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围解:(1)由过的切线方程为:而过①②故③由①②③得a=2,b=-4,c=5∴(2)当又在[-3,1]上最大值是13。(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又由①知2a+b=0。41依题意在[-2,1]上恒有≥0,即①当;②②当;③当综上所述,参数b的取值范围是例3.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.(1)当时,判断函数是否有极值;(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数

3、的取值范围.解(Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.(Ⅱ),令,得.由(Ⅰ)知,只需分下面两种情况讨论.①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:x0+0-0+↗极大值↘极小值↗因此,函数在处取得极小值,且.要使,必有,可得.由于,故②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:+0-0+增极大值减极小值增因此,函数处取得极小值,且若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.(III)解:由(II)知,函数在区间与内都是增函数。由题设,函数内是增函数,则

4、a须满足不等式组或由(II),参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有41,即综上,解得或.所以的取值范围是[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.例4:已知(1)当时,求证:在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点,求a的取值范围.解:(1)∵∴∵,∴又∵二次函数的图象开口向上,∴在内,故在内是减函数.(2)设极值点为则,当时,∵∴在内在内即在内是增函数,在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点,

5、且是极大值点.当时,同理可知,在内且只有一个极值点,且是极小值点.当时,由(1)知在内没有极值点.故所求a的取值范围为例5:已知函数与函数.(1)若的图象在点处有公共的切线,求实数的值;(2)设,求函数的极值.解:(I)因为,所以点同时在函数的图象上因为,,由已知,得,所以,即(II)因为(所以当时,因为,且所以对恒成立所以在上单调递增,无极值当时,令,解得(舍)所以当时,的变化情况如下表:0+极小值所以当时,取得极小值,且.综上,当时,函数在上无极值;当时,函数在处取得极小值.41例6、(2010年陕西最后

6、一次押题卷)已知函数,()(1)求的单调递增区间;(2)若,记函数,若在区间(1,3)上总不单调,求实数m的范围;解:(1)递增区间为(0,1);递增区间为(1,+);无增区间。(2)依题意,所以=0有正负两个根,依题意必有正根在区间(1,3)上,由根的分布可得且得:思考交流1.已知函数在R上是减函数,求实数a的取值范围;2.已知函数在区间为减函数,在区间为增函数,求实数a的取值范围3.已函数(1)讨论函数的单调区间;(2)当函数在区间内是减函数,求实数a的取值范围.414.已知函数在处取得极值10,求实数a

7、与b的值;5.已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR).若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m6.函数为常数)是奇函数.(1)若,求函数的图象与横轴的交点坐标.(2)设试求的最大值F(t);(3)求F(t)的最小值.417、已知函数(1)当时,求的最小值;(2)求单调区间;8、(2009浙江文科)已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1(其中k∈R),设函数p(x)=f(x)+g(x

8、),若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围;419、已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.10、三次函数的图像关于其图像上的点(1,2)对称,且点(-1,-6)为f(x)一个极值点,求函数f(x)在上的最大值与最小值。4111、已知函数其中。(I)若函数存在零点,求实数的取值范围;(II)当时,求函数的单调

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