2012导数的综合应用精典例题解析

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1、《导数的综合应用精典例题解析》题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值例1：已知函数（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）求函数的极大值；解：（I）函数所以又曲线处的切线与直线平行，所以（II）令当x变化时，的变化情况如下表：[来源:学。科。网Z。X。X。K]+0—极大值由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是所以处取得极大值，例2：已知函数过曲线上的点的切线方程为y=3x+1。（1）若函数处有极值，求的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；（3）若函数在区间[

2、－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解：（1）由过的切线方程为：而过①②故③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴（2）当又在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。41依题意在[－2，1]上恒有≥0，即①当；②②当；③当综上所述，参数b的取值范围是例3．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数

3、的取值范围．解（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.（Ⅱ），令，得.由（Ⅰ）知，只需分下面两种情况讨论.①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+↗极大值↘极小值↗因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+增极大值减极小值增因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则

4、a须满足不等式组或由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有41，即综上，解得或.所以的取值范围是[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.例4：已知(1)当时,求证：在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点,求a的取值范围.解:(1)∵∴∵,∴又∵二次函数的图象开口向上,∴在内,故在内是减函数.(2)设极值点为则，当时,∵∴在内在内即在内是增函数,在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点,

5、且是极大值点.当时,同理可知,在内且只有一个极值点,且是极小值点.当时,由(1)知在内没有极值点.故所求a的取值范围为例5：已知函数与函数.（1）若的图象在点处有公共的切线，求实数的值；（2）设，求函数的极值.解：（I）因为，所以点同时在函数的图象上因为，，由已知，得，所以，即（II）因为（所以当时，因为，且所以对恒成立所以在上单调递增，无极值当时，令，解得（舍）所以当时，的变化情况如下表：0+极小值所以当时，取得极小值，且.综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值.41例6、（2010年陕西最后

6、一次押题卷）已知函数，（）（1）求的单调递增区间；（2）若，记函数，若在区间（1，3）上总不单调，求实数m的范围；解：（1）递增区间为（0，1）；递增区间为（1，+）；无增区间。（2）依题意，所以=0有正负两个根，依题意必有正根在区间（1，3）上，由根的分布可得且得：思考交流1.已知函数在R上是减函数,求实数a的取值范围;2.已知函数在区间为减函数,在区间为增函数,求实数a的取值范围3.已函数(1)讨论函数的单调区间;(2)当函数在区间内是减函数,求实数a的取值范围.414.已知函数在处取得极值10,求实数a

7、与b的值;5．已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR).若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m6.函数为常数）是奇函数.（1）若，求函数的图象与横轴的交点坐标.（2）设试求的最大值F（t）；（3）求F（t）的最小值.417、已知函数（1）当时，求的最小值；（2）求单调区间；8、（2009浙江文科）已知函数f(x)=x3－(k2－k+1)x2+5x－2，g(x)=k2x2+kx+1（其中k∈R），设函数p(x)=f(x)+g(x

8、)，若p(x)在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；419、已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.10、三次函数的图像关于其图像上的点（1，2）对称，且点（-1，-6）为f(x)一个极值点，求函数f(x)在上的最大值与最小值。4111、已知函数其中。（I）若函数存在零点，求实数的取值范围；（II）当时，求函数的单调