strongart数学笔记：检讨我对现代数论的一些偏见

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1、检讨我对现代数论的一些偏见以前我对现代数论不太了解，也就难免会有所偏见，总认为它与集合论一起属于非常古怪的领域，只有那些有充分热情与天赋的人才能涉及。然而，最近在读代数K理论等书籍的时候，发现很多例子都是从代数数论中引申出来的，无奈只能恶补代数数论，这一补就发现现代数论还真是别有一番风味呢！最早我是在奥数中接触数论的，感觉就是一些古怪的凑数技术。像那个什么不定方程，要装模作样求出包含自由参数的通解，这已经让我感到很不自在了，可数论中竟然还要再投机取巧，在通解中凑出整数解来！后来读一些初等数论书，其中定义了一些很奇怪的函数，可除了原根和二次互反

2、律之外，就没什么实质性内容，其它大厚书可能还包括了连分数之类的课题，但那也只是华而不实的花边而已。而那个所谓的原根，又可以作为抽象代数中的平凡推论，恰好当时我听到一句“图论是拓扑的贫民窑”，便想这个数论和抽象代数的关系，大体上也差不了多少啊！想想一些国人推崇数论，基本上都是对哥德巴赫猜想附庸风雅，像我这般有一定数学素养的就不用去凑那个热闹了吧！最近我专门读了代数数论，发现以前的一些难理解的地方，比如像赋值除子之类的东东，其动机都是深藏于代数数论的，同时也让我改变了对数论的基本看法。那个现代数论确实有独特而又丰富的内容，简单来说就是那些涉及整数

3、（可延伸至有理数）的部分。然而，数论与其他学科分支的划分确实有所差别，不管是代数、分析还是几何，只要是与整数打交道的部分，就可以被视为数论的范畴。这里也不是非要强调整数的特殊性，只不过由于整数集的离散性，常常会使得问题变得复杂，并且出现脱离理论主干的情况，因此还是把那些难缠的东东单独拉出来研究更加恰当，与之相应就出现了代数数论、解析数论与算术代数几何（关于代数几何的数论）等学科。整数相对而言比较简单，在抽象层次无法解决的问题，就可以先在整数上中解决，然后要么再上升回归到更一般的层次。比如一般环的整扩张中素理想的分解是很难的问题，但到代数整数环

4、中则得到了相对完整的刻画，有Kummer的基本定理作为基础。当然，这里是回归常常是不彻底的，因此就会出现只能在整数集上良好表现的领域，这就是数论本身的地盘了啊！越是简单的东西，我们的研究就越是深入，可正是因为研究的深入，反倒是会出现其他领域所见不到的特有风貌，这便是数论的独特魅力了，同时也使得数论对其他领域产生出强大的推动作用。以前我只是把数论视为抽象代数的简单应用，这无疑是很不恰当的。这样的偏见可以说是一种基本偏见，都是从本学科的角度来评价其他学科。记得我讲交换代数的时候，便有人说那无非是代数几何与代数数论的入场卷，可反过来我也可以把代数数

5、论视为交换代数的应用。这里哪一门学科更加本质一些，恐怕就不是一时能说得清楚的了。当然也不能搞平均主义，把所有内容都作为知识（乃至于谋生手段）同等看待，得先对理论做整体的考察，再从发展潜力与丰富完善的程度等方面做整体考察。通过上述讨论，我们已经了解到数论的巨大潜力，那么它的理论是不是丰富完备呢？至少就代数数论而言，既有局部域与整体域的理论建构，也有队二次域与分圆域的具体研究，还有像类数定理与单位定理这样的深刻结论，甚至还产生了高度统一的类域论，因此其理论无疑是相当完备的。由此看来，即便在现代数学中数论真的已经被边缘化了，那也是一个不断向中心反思

6、的，非常活跃的边缘化领域。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。