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时间:2018-08-06
《strongart数学笔记:检讨我对现代数论的一些偏见》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、检讨我对现代数论的一些偏见以前我对现代数论不太了解,也就难免会有所偏见,总认为它与集合论一起属于非常古怪的领域,只有那些有充分热情与天赋的人才能涉及。然而,最近在读代数K理论等书籍的时候,发现很多例子都是从代数数论中引申出来的,无奈只能恶补代数数论,这一补就发现现代数论还真是别有一番风味呢!最早我是在奥数中接触数论的,感觉就是一些古怪的凑数技术。像那个什么不定方程,要装模作样求出包含自由参数的通解,这已经让我感到很不自在了,可数论中竟然还要再投机取巧,在通解中凑出整数解来!后来读一些初等数论书,其中定义了一些很奇怪的函数,可除了原根和二次互反
2、律之外,就没什么实质性内容,其它大厚书可能还包括了连分数之类的课题,但那也只是华而不实的花边而已。而那个所谓的原根,又可以作为抽象代数中的平凡推论,恰好当时我听到一句“图论是拓扑的贫民窑”,便想这个数论和抽象代数的关系,大体上也差不了多少啊!想想一些国人推崇数论,基本上都是对哥德巴赫猜想附庸风雅,像我这般有一定数学素养的就不用去凑那个热闹了吧!最近我专门读了代数数论,发现以前的一些难理解的地方,比如像赋值除子之类的东东,其动机都是深藏于代数数论的,同时也让我改变了对数论的基本看法。那个现代数论确实有独特而又丰富的内容,简单来说就是那些涉及整数
3、(可延伸至有理数)的部分。然而,数论与其他学科分支的划分确实有所差别,不管是代数、分析还是几何,只要是与整数打交道的部分,就可以被视为数论的范畴。这里也不是非要强调整数的特殊性,只不过由于整数集的离散性,常常会使得问题变得复杂,并且出现脱离理论主干的情况,因此还是把那些难缠的东东单独拉出来研究更加恰当,与之相应就出现了代数数论、解析数论与算术代数几何(关于代数几何的数论)等学科。整数相对而言比较简单,在抽象层次无法解决的问题,就可以先在整数上中解决,然后要么再上升回归到更一般的层次。比如一般环的整扩张中素理想的分解是很难的问题,但到代数整数环
4、中则得到了相对完整的刻画,有Kummer的基本定理作为基础。当然,这里是回归常常是不彻底的,因此就会出现只能在整数集上良好表现的领域,这就是数论本身的地盘了啊!越是简单的东西,我们的研究就越是深入,可正是因为研究的深入,反倒是会出现其他领域所见不到的特有风貌,这便是数论的独特魅力了,同时也使得数论对其他领域产生出强大的推动作用。以前我只是把数论视为抽象代数的简单应用,这无疑是很不恰当的。这样的偏见可以说是一种基本偏见,都是从本学科的角度来评价其他学科。记得我讲交换代数的时候,便有人说那无非是代数几何与代数数论的入场卷,可反过来我也可以把代数数
5、论视为交换代数的应用。这里哪一门学科更加本质一些,恐怕就不是一时能说得清楚的了。当然也不能搞平均主义,把所有内容都作为知识(乃至于谋生手段)同等看待,得先对理论做整体的考察,再从发展潜力与丰富完善的程度等方面做整体考察。通过上述讨论,我们已经了解到数论的巨大潜力,那么它的理论是不是丰富完备呢?至少就代数数论而言,既有局部域与整体域的理论建构,也有队二次域与分圆域的具体研究,还有像类数定理与单位定理这样的深刻结论,甚至还产生了高度统一的类域论,因此其理论无疑是相当完备的。由此看来,即便在现代数学中数论真的已经被边缘化了,那也是一个不断向中心反思
6、的,非常活跃的边缘化领域。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人,现在他依然努力坚持自学数学,似乎又有了新的突破,还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而,他却一直没有收到专业人士的邀请,至今只能依靠网络书店购买书籍,无法获取海量的论文资料,也没有机会和一流的学者们交流,最后只能走上娱乐拯救学术的道路,这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下!欢迎大家二次分享此文档,请注明文档作者Strongart,欢迎访问Strongart的新浪博客。
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