整边梯形的计数公式

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1、万方数据第23卷第4期2009年7月甘肃联舍大学学报(自然科学版)JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSciences)V01．23No．4Jul．2009文章编号：1672-691X(2009)04-0036—04整边梯形的计数公式邢林燕1’2(1．揭阳职业技术学院，广东揭阳522000；z．华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)摘要：讨论了整边梯形的性质和构造，给出四个正整数是某个整边梯形的四边之长的一个充要条件．从而将整边梯形的问题转化为整边三角形的问题，然后借助整边

2、三角形的计数公式给出周长为n的整边梯形的计数公式．最后，我们利用分拆的Ferrers图将一类整边梯形与不定方程4工。+3勋+2x，=打联系起来．关键词：分拆I整边梯形；计数公式中图分类号：0156文献标识码：AO引言数．。‘‘，z’：表示周长为，l的整边等腰梯形的个正整数的分拆是指将正整数按某些条件分成若干个正整数的无序和，它是组合数学和数论中一个非常活跃的数学分支，具有重要的实际应用意义．本文所研究的整边梯形的计数公式正是正整数分拆理论在现实生活中的应用．定义1梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．平行的两边叫

3、做梯形的底边，其中短边叫上底，长边叫下底；不平行的两边叫梯形的腰；将上底、下底及两腰之长对应相等的梯形视为同一梯形．近年来不少数学工作者着力于整数分拆与几何结合产生的关于整边多边形问题的研究．文[1～4]就是通过对正整数的三分拆的研究而产生的很好的有关整边三角形方面的结果．对于边数大于3的整边多边形，由于其不稳定性，所以研究工作较难展开，目前国内涉及的文献比较少[s~6]．在本章中，我们先论述并证明四个正整数是某个整边梯形的四边之长的一个充要条件，然后将整边梯形的问题转化为整边三角形的问题，从而借助整边三角形的计数公式给出

4、周长为n的整边梯形的计数公式．最后，我们还利用分拆的Ferrers图将一类整边梯形与不定方程4z，+322+2z。=，l联系起来．下面定义本文的相关符号：T3(，1)：表示周长为恕的整边三角形的个数．T‘(n)：表示周长为n的整边梯形的个数．D。(，1)：表示周长为行的整边等腰三角形的个数．B。(n)：表示周长为n的整边等边三角形的个数．：表示距离z最近的整数．LzJ：表示不超过z的最大整数．1主要结论定理1设口，6，f，d是正整数，且满足0<口<6，0

5、腰之长的充要条件是a+c+d>6且d—c，b，--a，即口+c+d>

6、6且d--c<6一口成收稿日期：2008-1Z-15．作者简介：邢林燕(1979一)，女，广东揭阳人，揭阳职业技术学院讲师，硕士，主要从事组合数学研究．万方数据第4期邢棘燕t整边梯形的计数公式37立．充分性设四个正整数a，b，c，d(Ob且d—c6一口，(1)Id—f4)

7、c,d

8、形的性质可知正整数6一口，C和d是某一三角形的三边之长．如图1所示作三角形BCE，延长线段CE至点D，使线段CD的长度为b，过点B作线段CD的平行线段AB，使线段AB的长度为a，连接AD，则可等到一个上底之长为a．下底之长为b，两腰之长分别为c，d的整边梯形．定理得证。推论1周长为n的整边梯形的上底之长a的取值范围是1≤口≤l芝≥J．证明设周长为竹的整边梯形的上底之长为口，下底之长为6，两腰之长分别为c，d，则有a+b+c+d=n．由定理1知口+d2(吐+矗)≥2a+2．即2口<7l一2．

9、从而2a≤n一3,a≤写≥．又因为口是正整数，所以口的取值范围是1≤口≤l笔≥j．引理lB。c挖，’_{：：耋；篥篓萎蒸：爵．引理2[13对任意自然数，l，有D3(，1)=詈一1，当扎兰0(m。d4)5in—i1，当n兰l(mod4)；号一虿1，当，l三2(m。d4)；in十i1，当行暑3(m。d4)．