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1、第9讲等差数列和等比数列(参考答案)例1.解:由题意知,2b=p+c,2c=q+b,由后二式得,。于是有,因为p≠q,故,方程的判别式,因此方程无实根。故选A。例2.解:(1),又,又的等比中项为2,,而,,(2),,为首项,-1为公差的等差数列。,;当;当,最大。例3.解:(Ⅰ)因为是等比数列,当上式等价于不等式组:①或②解①式得q>1;解②,由于n可为奇数、可为偶数,得-10且-1<<0或>0当或时即当且≠0时,即当或=2时,即例4.解(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3
2、,即矛盾.所以{an}不是等比数列.(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·(an-3n+21)=-bn又b1=-(λ+18),所以当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:当λ≠-18时,b1=—(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.例5.解:(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,(2)(方法一)=,设,则=,所以为8的约数7(方法二)因为为数列中的项
3、,故为整数,又由(1)知:为奇数,所以经检验,符合题意的正整数只有。.例6.解:由条件可知:,,解得:,,数列的公比为,,从而,,求得:.例7.解:(1)①当n=4时,中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0。若删去,则,即化简得,得若删去,则,即化简得,得综上,得或。②当n=5时,中同样不可能删去,否则出现连续三项。若删去,则,即化简得,因为,所以不能删去;当n≥6时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列中,由于不能删去首项或末项,若删去,则必有,这与矛盾;同样若删去也有,这与矛盾;若删去中任意一个,则必有,这与矛盾。(或者说:当n
4、≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项)综上所述,。(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列,其中()为任意三项成等比数列,则,即7,化简得(*)由知,与同时为0或同时不为0当与同时为0时,有与题设矛盾。故与同时不为0,所以由(*)得因为,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数。于是,对于任意的正整数,只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1,,,……,满足要求。例8.解:由条件易知两个二次方程与中,一个的两根为等比数列的第一、四项,而另一个的两根为第二、三两项,于是且,其中为该等比数列的首项。由于
5、,故,且再利用在上为增函数,可得:例9.解:设的公差为,的公比为,显然有.因为,所以即,所以若,则,因为,所以,若,则,若,则,所以,综上可知,有.7说明:此题关键是将转化为例10.解:设第一行数列公差为d,各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,所以a44=2a43-a42=2×-=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有解此方程组,得d=,a11=.对于任意的1≤k≤n,有课后巩固1.答案:C【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C2.【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。3.【解析】由得,,则,,选C.74.,5.解:为等差数列,6.,设
6、公比为q,由已知条件知,,由比例性质,。7.证明:(1)∵a、b、c依次成等差数列∴b-c=-d,c-a=2d,a-b=-d(d≠0)代入①得:-d(logmx-2logmy+logmz)=0∵d≠0,∴,y2=xz,可知x、y、z成等比数列.(2)∵x、y、z依次成等比数列,,∴两边取对数,得logmz-logmy=logmy-logmx=logmqlogmz-logmx=2logmq①式可变为a(logmz-logmy)-b(logmz-logmx)+c(logmy-logmx)=0即logmq(a-2b+c)=0,∵logmq≠0,∴2b=a+c,可知a、b
7、、c成等差数列.8.解:(Ⅰ)由知是方程的两根,注意到得得.等比数列.的公比为,(Ⅱ)∵数列是首相为3,公差为1的等差数列.7(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列是首相为3,公差为1的等差数列,有……=……=,子,整理得,解得.的最大值是7.9.(I)解:设等差数列的公差为d.由即d=1.所以即(II)证明因为,所以10.解:由已知,对任何n∈N,有,又因,故对任意x∈N,有。由于,故f(n)的最大值为。7