第5章 大数定律及中心极限定理

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1、第五章大数定律与中心极限定理l随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。l研究大量的随机现象，常常采用极限形式。l极限定理的内容很广泛，其中最重要的有二种：大数定律与中心极限定理。1大数定律l事件发生的频率具有稳定性；l大量测量值的算术平均值也具有稳定性。大数定律就是从这种稳定性的研究中得出的。定理一（契比雪夫大数定律）设随机变量序列…相互独立，且具有相同的数学期望和方差：前n个随机变量的算术平均：对于任意正数，有=则称{Xn}服从大数定律。证：由于由契比雪夫不等式可得：19在上式中令并注意到概率不能大于1，即得：l定理一给出了关于平均值稳定性的科学的

2、描述。l上式的意义：是一个随机事件，等式表明，当时，这个事件的概率趋于1。即对于任意正数，当n充分大时，不等式成立的概率很大。l还表明，当n很大时，随机变量的算术平均接近于数学期望.这种接近是在概率意义下的接近。l说明平均结果渐趋稳定性。即单个随机现象的行为对大量随机现象共同产生的总平均效果E()几乎不发生影响。即尽管某个随机现象的具体表现不可避免地引起随机偏差，然而在大量随机现象共同作用时，这些随机偏差相互抵消、补尚与拉平，致使总平均结果趋于稳定。例如在分析天平上称量一质量为µ的物品，以19表示n次重复测量结果，经验告知，当n充分大时，其平均值对µ的偏差是很小的

3、。定义：设是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数，有：则称序列依概率收敛于a，记为：依概率收敛的序列还有以下的性质：设又设函数g(x,y)在点(a,b)连续，则:定理一又可叙述为：设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：则序列前n个随机变量的算术平均依概率收敛于，定理二（伯努利大数定理）设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数有或：19证：因为nA～b(n,p)，引入随机变量：由于X1,X2…,Xn相互独立，又知Xk,k=1,2,…,n服从同一（0—1）分布：Xk01Pk1-pp已知由定理一得：

4、即伯努利大数定理表明：l事件发生的频率依概率收敛于事件的概率P，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。19l就是说当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。l由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。切比雪夫大数定律的证明要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明，方差存在这个条件有时并不是必要的，定理三就是这种情况。定理三（辛钦大数定理）：设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望，则对于任意正数，有：（证明略）显然，伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情况。大数定理以严格的数学形式表达了随机现象最

5、根本的性质之一：平均结果的稳定性，它是随机现象统计规律的具体表现。在理论和实际中有广泛的应用。l例如，要测量一个圆柱形工件的直径，由于仪器的测量误差、读数的偏差以及温度的变化等各种原因，使每次测量的结果是随机的。如果测量n次，得到，其算术平均值为，当n较大时，此平均值就可作为直径的一个估计，其理论依据是大数定理。l例如，要估计某地区水稻的平均亩产量，只要收割一部分有代表性的地块，比如n块，计算它们的平均亩产，在n比较大的情况下，n块的平均亩产量就可以作为全地区的平均亩产量。其理论依据也是大数定理。例：设随机变量序列19相互独立，且均服从（a,b）区间上的均匀分布，

6、问平均值依概率收敛于何值？解：因为Xk～U(a,b),k=1,2,…,n,则由辛钦大数定理知。例：设随机变量序列相互独立，且均服从泊松分布，试问当n很大时，可用何值估计？解：因为由辛钦大数定理知即当n很大时，可用值代替λ。具体的，若有的一组观察值。2中心极限定理19l在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。例如，炮弹射击的偏差，受许多随机因素的影响：瞄准的误差、空气阻力所产生的误差、炮弹或炮身所产生的误差等。我们所关心的是这些随机因素的总影响。l自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。观察表明，如果一个结果是由大

7、量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大。则这种量一般都服从或近似服从正态分布。中心极限定理就是研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。即，当n无限大时，这个和的极限分布是什么？在什么条件下极限分布是正态的？由于无穷各随机变量之和可以取∞为值，故这里不研究n个随机变量之和而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限。可以证明，在满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布。定理四（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，则随机变量之和的标准化变量：19的分布函数对于任意x满足（证明略）这就是说

8、，均值为，