大数定律及中心极限定理.doc

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1、辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案第五章大数定律及中心极限定理【基本要求】1、了解切比雪夫不等式；2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论；3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。【学时分配

2、】2学时【授课内容】§5.1大数定律0.前言在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定

3、性。一、切比雪夫大数定律7辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案事件的频率稳定于概率，能否有，答案是否定的。而是用[依概率收敛]来刻划（弱）。或者用[a.e.收敛]来刻划（强）。1.定义：设是一个随机变量序列，是一个常数，若对于任意正数，有，则称序列依概率收敛于.记为.2．切比雪夫不等式设随机变量具有有限的期望与方差，则对，有或证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设，则有该不等式表明：当很小时，也很小，即的取值偏离的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。切比雪夫不等式常用来求在随机变量

4、分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。3．定理1（切比雪夫大数定律）设是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数，使，则对任意的，有[即7辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案]证明：由切比雪夫不等式知：有：该定理表明：当很大时，随机变量的算术平均值接近于其数学期望，这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说，在定理的条件下，个相互独立的随机变量算术平均值，在无限增加时将几乎变成一个常数。推论：设是相互独

5、立的随机变量，由相同的数学期望和方差，则有（即以概率收敛于）这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值，然后用其平均值来代替。切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有Bernoulli大数定理和辛钦大数定律。二、Bernoulli大数定律定理2：设是重Bernoulli试验中事件出现的次数，而是事件在每次试验中出现的概率，则对，证明：令，7辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案则相互独立且＝，，，，故由切比雪夫大数定律立刻推

6、出贝努里大数定律。或者，直接由切比雪夫不等式，对，有即。故{}服从大数定律。Bernoulli大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。切比雪夫大数定律（定理1）中要求随机变量的方差存在，但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，从而我们有以下的定理：三、辛钦大数定律定理3：设随机变量独立同

7、分布，且具有数学期望，则有（即以概率收敛于）证明：略。显然，Bernoulli大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。7辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案§5.2中心极限定理0.前言在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量是近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的，又由于它在统计中的重要性，称它为中心极限定理这是Poyla在1920年取

8、得名字。设{}是相互独立的随机变量序列，它们的期望与方差均存在，考虑（标准化和），这时对于任意的都有，因而当时，不至于发生趋向于0或这种情形，这时讨论它的分布才有意义。下面研究的分布：中心极限定理有多种不同的形式，下面我主要讲独立同分布的中心极限定理及其一特殊情形：一、定理1:(Levy-Lindeberg极限定理)[独立同分布的中心极限定理]设是独立同分布的随机变量序列，且（），，均存在，则，有证：（略）该定理也可改写为：对，有7辽宁石油