可换矩阵的公共特征向量研究myq

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1、数学与统计学院2011届毕业论文可换矩阵的公共特征向量研究Xxx(天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000)摘要:本文将考虑当满足都是n阶方阵，时,如何求的公共特征向量,而且得到所有公共特征向量的求法及相关研究.关键词:可换矩阵;特征向量;对角矩阵.TheCommutativeMatrixsPublicCharacteristicVectorStudiesXxx(SchoolofMathematicsandStatistics，TianshuiNormalUniversity，Tianshui741000，Ch

2、ina)Abstract:ThisarticleconsideredwhensatisfiesAB=BA,howasksA,theBpubliccharacteristicvector,moreoverobtainsA,theBallpubliccharacteristicsvectorasksthelaw.KeyWords:commutativematrixs,characteristicvector,diagonalmatrix.10数学与统计学院2011届毕业论文0引言在文献[1]中证明了命题1若都是复数域上的

3、阶方阵，且，则与至少存在一个公共的特征向量.对于命题1的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的.本文将解决如下问题：在第一部分，对满足的阶复方阵，用新的方法证明了有公共特征向量，该方法的一大优点是，能求出的所有公共特征向量；在第二部分，对可换矩阵存在公共特征向量所依赖的数域进行了讨论，通过构造反例，修正了文献[2

4、，3]中的疏误；在第三部分，对可换矩阵的更进一步的结果进行了探讨。1可换矩阵的公共特征向量定理1若，且，则与一定存在公共的特征向量.证明因为，则在复数域上一定存在特征值，取的任一个特征值，考虑的特征子空间设，则，设为的一组基，则，于是有，.在下面的证明中，我们将证明存在的属于的一个特征向量，使也是的一个特征向量，即存在某数使成立，从而为与的公共特征向量.由于为的一组基，设（1）10数学与统计学院2011届毕业论文由，则，即得，.则有，，使得下步将寻找不全为零的，使（1）成立，并且使为与的公共特征向量.而由及线性无关，

5、得（2）即，记，即得，也即（3）当时，上式有非0解，此式说明是的特征值.定理1证毕.定理1证明了与有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出，对于的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在的特征向量.于是有推论：推论1若复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则与至少有个线性无关的公共特征向量。10数学与统计学院2011届毕业论文证明设是的个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在的每个特征子空间中都存在的特征向量，，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得是与的个线性无关的公共特征向量。推论2若阶复方阵满足

6、，且有个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵，使得与都是对角矩阵。证明由推论1知与有个线性无关的公共特征向量，作矩阵，则与都是对角矩阵。下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量。例1求可换矩阵所有的公共特征向量。，解容易验证，的特征多项式为.∴，.对，由，得，，基础解系为，而，定理1中的为矩阵，于是，于是公共特征向量为，为任一不为零的常数10数学与统计学院2011届毕业论文对，由，得，基础解系为，而，，定理1中的，，即，对，，得，于是公共特征向量为，即，为任意不为零的常数。对，，得，于是公共

7、特征向量为，即，为任意不为零的常数。于是所有公共特征向量的形式为：，，为任意不为零的常数。2一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献[2]中P261却有如下一道习题：习题[2]设矩阵与可交换，试证：如果有特征向量，则一定有公共特征向量。在文献[3]中对该习题作出了如下解答：解[3]设是两个可交换的矩阵，系数在数域中，并设其阶数为.可看成维线性空间的线性变换在基10数学与统计学院2011届毕业论文下的矩阵，从可交换可推出可交换.如果有特征向量，则有特征值.在对于的特征子空间中，有公共特征向量，也是矩阵的公共特征

8、向量。上述结论不真。事实上，在实数域上，取，令是在实数域没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则与可交换，有特征向量，但没有特征向量。例1在实数域上，（单位阵），，则，有特征值，从而有特征向量，但在实数域上没有特征值，自然没有特征向量.3进一步的讨论引理1，相似于对角阵有n个线性无关的特征向量设为的n个线性无关的特征向量.令则可逆