资源描述：
《论文-可换矩阵的若干性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、-长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练可换矩阵的若干性质系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号：2009031118__学生姓名：贺琼 ______成绩： 2012年６月-页脚---可交换矩阵的一些性质贺琼长沙学院信息与计算科学系,湖南长沙,410022摘要：矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的,即在通常情况下,.但在某些特殊情况下,矩阵的乘法也能满足交换律.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发,分析并总结归纳一般矩阵和特殊矩阵（如对角矩阵）可交换情况下的一些性质,矩阵是高等代数中一个重要内容，在数学领域以
2、及其他科学领域有着重大的理论意义.因此研究可交换矩阵对我们学习矩阵有着重要的帮助.关键词：矩阵，可交换矩阵，对角矩阵1引言关于可交换性矩阵的很多性质,我们在学习的过程中已经经常运用,并都为我们所熟知,本章主要介绍可交换性矩阵的一些基本概念及可交换矩阵的若干性质.文献[1]是高等代数的内容．本文主要引用了其中有关矩阵的一些相关概念．文献[2]主要探讨了可交换矩阵的一些性质.文献[3]主要探讨了矩阵可交换的条件以及可交换矩阵的一些性质.文献[4]对可交换矩阵做了一系列的研究，其中包括利用置换矩阵的相似变换把可约矩阵变换成不可约的F
3、robenius标准型后来讨论一般的矩阵的可交换性，特别是和全非零模式矩阵的可交换的必要条件等．本文主要矩阵的基本定义出发，总结了可交换矩阵的一些性质，从而使得让我们对研究可交换矩阵的重要性有一个初步的了解．2矩阵的基本定义与相关概念定义2.1[1]若阶方阵满足,其中为阶单位矩阵,则有,.-页脚---定义2.2[1]设矩阵为同阶方阵,若,则称与可交换.定义2.3[1]设均为对角矩阵，则与可交换.定义2.4[1]设均为准对角矩阵，则与可交换.定义2.5[1]设矩阵为方阵,若称为阶对角矩阵,记.定义2.6[1]若阶方阵中元素，且称
4、此时的为数量矩阵.记，其中为阶单位矩阵.定义2.7[1]若阶方阵满足,其中为阶单位阵，则称为阶正交矩阵.定义2.8[1]若阶方阵满足，其中为的转置矩阵，则称为对称矩阵.定义2.9[1]若阶方阵满足，其中为的转置阵，则称为反对称矩阵.定义2.10[1]如果对于矩阵与矩阵存在可逆矩阵,使得，则称矩阵与矩阵相似，在这里对于置换矩阵有.3可交换矩阵的一些性质性质3.1[2]数量矩阵与所有方阵可交换.证明因为，故与可交换.性质3.2[2]设矩阵与可交换的充分必要条件是.证明“”与可交换，即，两边取转置，因为，所以.“”由矩阵的运算性质，
5、又已知条件，所以，两边分别取它们的转置，得.性质3.3[2]可逆矩阵、可交换的充分必要条件是.证明“”由，两边取逆阵，又，故得到.-页脚---“”由已知条件,与,存在且唯一，由矩阵运算性质，有，又，于是，两端取逆阵，得.性质3.4[2],,则矩阵、可交换的充分必要条件是、可交换.证明因，，，得：，，,所以、可交换.性质3.5[2]如与可交换，则在复数域上、至少有一个公共的特征向量.证明设是复数域上维线性空间，是的一组基，，，使，，由于，因此.所以在复数域上，必有特征值并存在非令向量使得，故，又，所以为与的公共的特征向量.数域上
6、的特征向量为，在下的向量组是与的公共的特征向量.性质3.6[3]设可交换，则有：(1)，其中都是正整数；(2)，其中是的多项式，即与的多项式可交换；(3)(4)（矩阵二项式定理）．证明(1)由可得，同理可证．(2)由(1)可证明．(3)、(4)对可用数学归纳法证得．性质3.7[3]设可交换，则有：(1)若均为对合矩阵，则也为对合矩；(2)若均为幂等矩阵，则，也为幂等矩阵；-页脚---(3)若均为幂幺矩阵，则也为幂幺矩阵；(4)若均为幂零矩阵，则，均为幂零矩阵．证明(1)由可证得；(2)由及即可证得；(3)由即可证得；(4)设，
7、取，则，即为幂零矩阵；令，则，所以为幂零矩阵．例1[3]设与所有的阶矩阵均可交换，则一定是数量矩阵．证明记，用将第行第列的元素表示为1，而其余元素为零的阶矩阵．因与任何矩阵均可交换，所以必与可交换．由得及．故是数量矩阵．例2[3]（1）设矩阵为对角矩阵，其中时，，则可交换的充要条件的是为对角矩阵．（2）设为准对角矩阵，其中时，，是阶单位矩阵，，则可交换的充要条件的是为准对角矩阵．证明(1)若均为对角矩阵，则由定义1.1.3可知可交换；若与可交换，时，．设-页脚---，因为为对角矩阵，所以．由，即得．而时，，故，所以即证得为对角
8、矩阵．仿(1)不难证明(2)．4关于特殊的二阶、三阶方阵可交换的一些性质性质4.1[4]型如的二阶方阵的可交换阵为二阶方阵（其中为任意实数）．性质4.2[4]型如（且）的二阶上三角阵的可交换阵仍旧是二阶上三角阵（且，其中为任意实数）．性质4.3[4]型如（且）的三阶上三角阵的
