生猪的出售时机模型

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1、§2生猪的出售时机模型［问题的提出］一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤．目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0．1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪．如果上面的估计和预测有出入，对结果有多大影响．[问题分析及符号约定]投入资金可使生猪体重随时间增长，但售价(单价)随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大．这是一个优化问题，根据给出的条件，可作如下的简化假设．每天投入4元资金使生猪体重每天增加常数(=2公斤)；生猪出售的市场价格每天降低常数g(=0．1元

2、)．[模型的建立]给出以下记号：～时间(天)．～生猪体重(公斤)；单价(元／公斤)；R-出售的收入(元)；C-t天投入的资金(元)；Q-纯利润(元)．按照假设，．又知道，再考虑到纯利润应扣掉以当前价格(8元／公斤)出售80公斤生猪的收入，有，得到目标函数(纯利润)为其中．求使最大．[模型的求解]这是求二次函数最大值问题，用代数或微分法容易得到当时，，即10天后出售，可得最大纯利润20元．[敏感性分析]由于模型假设中的参数(生猪每天体重的增加和价格的降低g)是估计和预测的，所以应该研究它们有所变化时对模型结果的影响．第53页1．设每天生猪价

3、格的降低元不变，研究变化的影口向，由(2)式可得是的增函数，表1和图3给出它们的关系．2．设每天生猪体重的增加=2公斤不变，研究g变化的影响，由(2)式可得是的减函数，表2和图4给出它们的关系．可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度．对的敏感度记作，定义为第53页由(3)式，当=2时可算出即生猪每天体重增加1％，出售时间推迟3％．类似地定义对g的敏感度，由(4)式，当g=0．1时可算出即生猪价格每天的降低g增加1％，出售时间提前3％。和g的微小变化对模型结果的影响并不算大．[强健性分析(Robustness)]建模过程中假设了生猪体重的

4、增加和价格的降低都是常数，由此得到的和都是线性函数，这无疑是对现实情况的简化．更实际的模型应考虑非线性和不确定性，如记，则(1)式应为（8）用微分法求解(8)式的极值问题，可知最优解应满足(9)式左端是每天利润的增值，右端是每天投入的资金．于是出售的最佳时机是保留生猪直到利润的增值等于每天投入的资金为止．本例中是根据估计和预测确定的，只要它们的变化不大，上述结论就是可用的．另外，从敏感性分析知，=3，所以若1．8≤≤2．2(10％以内)，则结果应为7≤≤13(30％以内)。若设是最坏的情况，如果这个(绝对)值更小，就应更大．所以最好的办法

5、是：过大约一周后重新估计再作计算．评注：这个问题本身及其建模过程都非常简单，我们着重介绍的是它的敏感性分析和强健性分析，这种分析对于一个模型，特别是优化模型，是否真的能用，或者用的效果如何，是很重要的．第53页