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《2009年新课标地区高考数学试题汇编 圆锥曲线方程(理科)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(理)汇编圆锥曲线方程部分1．（安徽3）下列曲线中离心率为的是（A）（B）（C）（D）答案：B解析：由得，选B2．（安徽20）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明:点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列.解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有
2、唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。3．（福建13)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________答案：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。4．(福建19)（本小题满分13分）已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a
3、>0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。解法一：(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1)当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点
4、共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线.故存在,使得O,M,S三点共线.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.5．（广东19）．（本小题满分１４分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段
5、与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（２）若曲线与点有公共点，试求的最小值．解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.6．(江苏18)（本小题满分16分）学科网在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，
6、且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。[解析]本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得：化简得：求直线的方程为：或，即或(2)设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆
7、心到直线与直线的距离相等。故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：解之得：点P坐标为或。AyxFEPOX7．(辽宁卷16)已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。答案：9解析：设双曲线的右焦点为E，则，，当A、P、E共线时，，的最小值为9。8．(辽宁20)（本小题满分12分）已知椭圆C经过点A,两个焦点为.(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值．并求出这个定值．（1）解：由题意，可设椭圆方程为，∵A在椭圆上，∴
8、，解得，（舍去）∴椭圆C的方程为----------------4分。（2）设AE的方程为：，
