图形运动与几何证明题中的辅助线添加1

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1、努力打造国内最开放的资源下载基地和最专业的远程教育平台！图形运动与几何证明题中的辅助线添加上海初中数学新教材的特色之一是打破平面几何的公理体系，将平面几何大致分成直观几何、实验几何和论证几何。其编者意图一方面是为了顺利实现几何的入门教学，另一方面通过实验几何中学生的动手操作去发现几何知识并进一步发现解决几何问题的方法。教学中如果能利用好这部分内容对于提高学生的数学素质将很有裨益。由于实验几何又以线段或直线的平移、基本图形的旋转与翻折为核心，而这部分内容对于几何证明题中的辅助线添加又有着非常密切的关系。因为我们可以通过图形运动把几何题中分散的条件汇聚

2、到一个基本图形或者通过图形运动把题目中不很明朗的、比较隐蔽的条件明朗化。本文试图通过图形运动的三种基本形式对平面几何证明题中的辅助线添加作点探索，抛砖以期引玉。一、线段或直线的平移平移的特征是把线段或直线从一个地方移动到另一个地方，通过平移可以将图形中一些分散的条件汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化。特别是对于有些条件比较隐蔽的几何题，往往能起到“柳暗花明又一村”的效果。由于线段或直线在平移过程中保持着线段的长短和角的大小不变，这一结论对于将题目中的有用条件集中到一起从而能比较容易的添加出辅助线以达到解题的目的很有好处。例１、如图一，在梯形A

3、BCD中，∠A+∠B=90°，AB∥CD，M、N分别是AB、CD的中点，求证：MN=（AB－CD）。分析：观察本题的已知条件∠Ａ＋∠Ｂ＝90°中的∠Ａ、∠Ｂ分别为梯形的两个底角不利于这一条件的应用。比较理想的是将这两个角放到一个三角形中，从而可以利用直角三角形的有关性质来解决。又考虑到通过线段的平移可以将一个角从一个位置移动到另一个位置，这样，就想到过Ｄ点作ＢＣ的平行线ＤＰ。也就是将线段ＢＣ平移到线段ＤＰ，可以得到∠Ａ＋∠ＡＰＤ＝９０°。自此不难发现（AB—CD）＝AP。而AP为直角三角形ADP的斜边，要证MN＝AP，只要证ＭＮ等于ＡＰ边上的中线，

4、因此，想到取线段AP的中点G并连结DG，这样只要证明ＤＧ=MN，只需证明四边形DGMN为平行四边形就可以了。这由GM=AM－AG=（AB－AP）=BＰ＝CD=DN及AB∥CD即可证明。证明从略。例２、求证：两中线相等的三角形是等腰三角形。已知：如图二，△ABC中，Ｄ、Ｅ分别是AB、AC的中点，BE＝CD。求证：AB＝AC。分析：本题中的BE＝CD不能直接应用，而证明AB＝AC的基本思路是证明∠ABC=∠ACB,因此只需证明△BCE≌△CBD,只需证明∠EBC=∠DCB,要证明这两个角相等就需要把这两个角中的一个进行移动。考虑到线段的平移能把一个角从

5、一个地方移动到另一个地方，故过Ｅ点作ＣＤ的平行线并和BC的延长线相交于F,从而把∠ＢＣＤ平移到∠ＣＦＥ位置。只需证明ＥＦ＝ＣＤ，而连结Ｄ、Ｅ后，DE∥BC，容易证明四边形ＤＣＦＥ为平行四边形，从而原命题可证。证明从略。4努力打造国内最开放的资源下载基地和最专业的远程教育平台！例３、由平行四边形ABCD的顶点作它的高AE、AF，已知EF＝ａ，AC＝ｂ（如图三），求点Ａ到△AEF的三条高的交点Ｈ的距离。分析：若从已知条件直接求ＡＨ相当困难。而题目中的基本图形是平行四边形，平行关系较多，如ＥＨ∥ＣＤ、FH∥CE∥AG等等,因此可以考虑将图中的某些线段进行

6、平移。故将AE平移到CG。这一平移既保持了CG=AE，又有CG⊥AD。从而EG=AC，由于四边形HECF为平行四边形，四边形AECG为矩形，所以HF=CE=AG，从而四边形AHFG为平行四边形，AH=FG，又AH⊥EF，GF∥AH，△EFG为直角三角形，所以ＡＨ＝ＧＦ＝＝。本题的解题关键是将ＡＥ平移到ＣＧ并由此得到若干个相等线段和平行四边形，由此可见，线段或直线的平移对于几何题中的辅助线添加有着非常重要的作用。证明从略。二、图形的旋转图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着一个确定的点从一个位置移动到另一个位置。通过旋转可以把题目中一些不明朗的关系明朗

7、化，它的最大特点是在旋转过程中旋转部分两点之间的距离不变、两直线间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转角。它的使用范围一般是等腰三角形或中心对称图形。有时再结合基本辅助线添加更能体现其在添加辅助线中的优势。例４、如图四，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，过M作∠BAC的平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F点。求证：BE=CF分析：这一题的已知条件中有M是线段BC的中点，即点M为线段BC的对称中心，同时考虑到相似三角形中的基本图形“8”字形，故可将△FMC绕中点M旋转180°，这时线段CF也由原来的位置移动到线段BN位置，而BN、E同在

8、△BEN中，只要证明△BEN为等腰三角形即可。而∠Ｎ＝∠Ｆ，∠BEM=∠FEA，只要证明∠FEA=∠F。又∠F=∠CAD，