理论力学简明教程复习题题库 (物理专业用)

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1、理论力学复习题计算题题库第一章质点力学点沿空间曲线运动，在点M处其速度为，加速度与速度夹角，且。求轨迹在该点密切面内的曲率半径和切向加速度。答：由已知条件得法向加速度则曲率半径切向加速度一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角与其经过的那段圆弧对应的圆心角之间有如下关系证明：设点M沿半径为R的圆作圆周运动，t时刻走过的路程为AM=s，速度为，对应的圆心角为。由题设条件知C为常数积分(b)式得所以将（c）式代入（a），并考虑，所以质点M的运动方程为求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度

2、的大小。解：由于所以有又：则点M沿半径为R的圆周运动。如果为已知常数），以初始位置为原点，原点初速度为。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。解：设点的初始位置为A。依题意积分上式得则弧坐标形式的运动方程为当时一质点沿圆滚线的弧线运动，如为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。式中为圆滚线某点P上的切线与水平线（x轴）所成的角度，s为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。解：因故式中=常量（题设）又而所以故=常数结论得证设质点沿螺旋线运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。解：因故所以又所以又所以而

3、小环的质量为m。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为，试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。解：小环受力如图示，重力竖直向下，约束力的方向沿着抛物线的法线小环在任意位置P处的运动微分方程为因而（s增大而y减小故为负值）（1）式变为即积分得（因）此即小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度。又则在抛物线顶点处所以在抛物线顶点处由（2）式知（因在顶点处）小环在顶点处所受到的约束反作用力为。质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。证明：取力通过的定点为坐标原点，

4、则质点的位矢与力共线，则有所以质点的动量矩守恒，即其分量式为由得到由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。一物体质量m=10kg,在变力作用下运动。设物体初速度，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题解答：由得积分得再积分得由解得再代入前式得S=7.07m质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量与加速度矢量正交。证明：采用自然坐标系，由题意知c为常量于是有又在自然坐标系中所以由于故得证动点M以匀速沿轨

5、迹运动，求当时动点M的速度沿x和y分量的大小，以及M的加速度解：由根据求导数得而时（2）代入（1）得整理得代入（2）得又则即又由数学知识知而根据微分得当时所以有故某力场的力矢为其中分别为x,y,z轴的单位矢，试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。解：+故力场为保守力场。由（1）式积分得：对（4）式求偏导数得：即上式得：代入（4）式得：对（5）式求偏导数得：即积分得：代入（5）式得：取则所以势能函数为某力场的力矢为试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。解：故力场为保守力场。由对（1）

6、式积分得：对（4）式求偏导数得：即上式得：代入（4）式得：对（5）式求偏导数得：即积分得：代入（5）式得：取则所以势能函数为已知作用于质点上的力为式上系数都是常数，问这些满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力场的旋度为零，所以即即势能存在满足条件是：由（1）式积分得（4）式对y偏微分=（2）式得即（5）式积分得（6）式代入（4）式得（7）式对z偏微分=（3）式得即（8）式积分得（9）式代入（4）式得取则得势能为某力场的力矢为试证明该力场是否为保守力场，若为保守

7、力场，求出其势能函数。解：由于故力场为保守力场由积分（1）式得（4）式对y偏微分=（2）式得积分得代（5）入（4）得（6）式对z偏微分=（3）式得积分得代（7）入（6）得取则得势能函数为有一质点在xy平面上运动，质点受到的力为，质点在平面上由点A（1,0）沿直线运动到点B（1,1）,求力所作的功解法1：由功的定义计算又所以解法2：由功的定义计算或解法3：由保守力性质计算故力场为保守力场积分（1）式得（4）式对y偏微分=（2）式得积分得代（5）入（4）得取则得势能函数为则由保守力与功的关系可知设作用于质点上的力场的力矢为求

8、此质点沿螺旋线运行，自至时力场所作的功解：由保守力性质计算故力场为保守力场积分（1）式得（4）式对y偏微分=（2）式得积分得代（5）入（4）得（6）式对z偏微分=（3）式得积分得代（7）入（6）得取则得势能函数为又由知当时；时则由保守力与功的关系可知有一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c，试证明