数学谬论与诡辩赏析

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1、数学谬论与诡辩赏析——代数篇一、2＝1有人这样证明：设a＝b≠0，则a2＝ab在等式两边都减去b2，得a2－b2＝ab－b2分解因式，得(a+b)(a－b)＝b(a－b)在等式两边都除以(a－b)，得a+b＝b因为a＝b所以2b＝b在等式两边都除以b，即得2＝1奇迹出现了！你能找出证明过程中的错误吗？解析：等式两边都乘以或都除以同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。证明中，将式(a+b)(a－b)＝b(a－b)两边都除以(a－b)，而a－b＝0，0不能作除数！正因为用0去作除数，才出现了2＝1的荒谬结果。第7页共7页二、1＝

2、3有人这样证明：设a＝b≠0则ab2＝a3在等式两边都减去b3，得ab2－b3＝a3－b3分解因式，得b2(a－b)＝(a－b)(a2+ab+b2)在等式两边都除以(a－b)，得b2＝a2+ab+b2因为a＝b所以b2＝b2+b2+b2即b2＝3b2在等式两边都除以b2，即得1＝3又是一个令人惊奇的结果！解析：本题的问题仍然出在等式两边都除以(a－b)这个环节上！因为，既然设a＝b，那么a－b＝0，而0是不能作除数的。第7页共7页三、2＝3有人这样证明：写一个等式：4－10＝9－15，在等式两边都加上,得22－2×2×+＝32

3、－2×3×+运用完全平方公式，得＝，等式两边开平方，得＝，再在等式两边都加上，得2=3本题没有用0作除数，却仍然出现2＝3的荒谬结果，错误原因又是什么呢？解析：本题的错误在于，将等式＝，两边开平方后，应该是＝，而不是＝。因为等号左边是负数，而后面是正数。虽然它们的平方相等，却不能表明它们本身也相等。四、n+1＝n有人这样证明：对于任意一个数n，运用完全平方公式，得第7页共7页(n+1)2＝n2+2n+1在等式两边同加上[－(n+1)(2n+1)+(2n+1)2]，得(n+1)2－(n+1)(2n+1)+(2n+1)2＝n2+2

4、n+1－(n+1)(2n+1)+(2n+1)2整理，得(n+1)2－2(n+1)·[(2n+1)]+[(2n+1)]2＝n2－2n·[(2n+1)]+[(2n+1)]2再运用完全平方公式，得[(n+1)－(2n+1)]2＝[n－(2n+1)]2等式两边开平方，得(n+1)－(2n+1)＝n－(2n+1)再在等式两边同加上－(2n+1)，得n+1＝n这是不可能的，但是错在哪儿呢？解析：问题也是发生在等式两边开平方的环节上。将等式[(n+1)－(2n+1)]2＝[n－(2n+1)]2两边开平方后，应该是

5、(n+1)－(2n+1)

6、

7、＝

8、n－(2n+1)

9、，而不是(n+1)－(2n+1)＝n－(2n+1)。我们再来看一看(n+1)－(2n+1)＝n－(2n+1)的实质：化简即是＝－，这显然是错误的。第7页共7页五、跑得最快的人“追不上”乌龟阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯!谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的10倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，

10、我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚到过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀！我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢?”先看下面的图：阿基里斯在O点时，乌龟在A点；他追到A点，乌龟爬到B点；他追到B点，乌龟爬到C点；他追到C点，乌龟爬到D点；……我们看到，阿基里斯与乌龟的距离越来越近，也就是OA，AB，BC，CD，……这些线段越来越短，每条线段都只有前一个的1/10，但是每条线段的长度都不会为是0。这就是说，当阿

11、基里斯按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内他都追不上乌龟。那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗?第7页共7页解析：当然不是。错误的结论产生于用“有限”的方法去处理“无限”的问题！这一诡辩的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程测

12、得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻，阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上，假如阿基里斯跑完OA(即100米)用了10秒钟，那么他跑完AB只要1秒钟，跑完BC只需0.1秒，跑完CD只需0.