昆明理工数值分析试卷答案a20131222

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1、昆明理工大学2012级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）（A卷）一、填空题（每空2分，共40分）1．要使的相对误差不超过，应取4位有效数字。2．设在上的最佳二次逼近多项式为，最佳平方逼近二次多项式为。3．求积公式至少具有_3次代数精度。4．解线性方程组的SOR迭代法收敛，则松弛因子有，设建立迭代公式，写出逐次超松弛迭代法。5．，其条件数39205，39601。6．设，计算向量的范数，=6，，=3。7．求方程根的牛顿迭代格式是，其收敛阶=2。弦截法迭代格式是，其收敛阶=1.618。8．是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a=0，b

2、=-2，c=3。9．对矩阵作LU分解，其，。二、计算题（每题10分，共50分）1．求出一个次数不高于4次的插值多项式，使它满足第4页共4页，，并写出余项表达式（要有推导过程）。解：由题意知，以为三次重根，所以可设，由插值条件得所以得，故，设由反复用罗尔定理得在(0,1)上存在，使即，则，所以，余项为。2．给定积分（1）利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间[0,1]应分成多少等分才能使其截断误差不超过；（2）取同样的求积结点，改用复合Simpson公式计算时，截断误差是多少？解：由于，所以故（1）对复合梯形公式，有为了使截断误差不超

3、过，只须18n2≥1000，解得n≥7.5。故用复合梯形公式计算时，取8等分即可。（2）将区间[0，1]8等分，改用复合Simpson公式，由于h=1/4=0.25，由于=1/3686400≈2.7127×10–7第4页共4页3.设，，用表示解线性方程组的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。解：雅可比迭代法，则雅可比迭代法的充分必要条件是。高斯-塞德尔迭代法，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是。4.已知如下实验数据,用最小二乘法求形如的经验公式。192531384419.032.349.073.397.8解：设，则数

4、据表变为3616259611444193619.032.349.073.397.8则由方程，即解得，所以经验公式为第4页共4页5.用梯形公式解初值问题取步长h=0.1,计算到。解：梯形法公式，计算。三、证明题（共10分）设,在的某个邻域内连续,并且,则对任何,证明：（1）由迭代决定的序列收敛于；（2）误差估计.证明：,所以,则；同样当，则得，即。第4页共4页