一类快速多极法在声学透射问题中的运用

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1、一类快速多极法在声学透射问题中的运用一类快速多极法在声学透射问题中的运用李攀，潘文峰**（武汉理工大学理学院，武汉430070）510152025303540摘要：本文研究的是求解声学中透射问题的一种新的方法。主要是先介绍了Galerkin边界元法求解透射问题的一般过程，即先将传统的透射问题简化为对应的复合边界积分方程组，再对相应的等价弱解形式进行离散得到线性方程组。然后在基于Galerkin边界元法的基础上，根据Hankel函数的因子分解，推导出快速多极边界元法。将标准边界元方法离散后的线性方程组化为利于迭代的形式，以降低计算复杂度。

2、最后通过数值例子，运用新的快速边界元方法求解透射问题。进一步验证快速多极边界元法的高效性和准确性。关键词：透射问题；边界积分法；因子分解中图分类号：O029AfastmultipolemethodforthetransmissionprobleminacousticLiPan,PanWenfengScienceSchool,WuhanUniversityofTechnology,WuHan430070Abstract:Inthispaper,wereducetheclassicaltransmissionprobleminacoustics

3、catteringtoasystemofcoupledboundaryintegralequations,andconsidertheweakformulationoftheresultingequations.Uniquenessandexistenceresultsfortheweaksolutionofcorrespondingvariationalequationsareestablished.ThenaccordingtothemultipolefactorizationofHankelfunction,Boundaryeleme

4、ntmethodsbasedonatwo-levelfastmultipoleGalerkinschemesareemployedtocomputethesolutionofthevariationalequation.Numericalresultsarepresentedtoverifytheefficiencyandaccuracyofthenumericalmethods.Keywords:Acoustictransmissionproblem;Boundaryintegralequation;multipolefactorizat

5、ion0引言近年来，声波的透射问题一直是数学物理领域研究的热点之一。在求解对应的声学Helmholtz方程中，由于边界有限元方法在计算速度和存储空间上的缺点，特别是在求解物理中声辐射和透射问题，往往需要将所建立的模型的表面区域进行离散后，再对其每个元素进行求解，当采用传统的边界元方法求解这类问题是相当复杂且耗费相当长的计算时间的。于是很多学者都在寻求一种能够快速精确求解相应Helmholtz方程的方法。最早提出快速多极方法（FMM）是在1985年由Rokhlin和Greengard[1]提出的，并且用这种方法来模拟计算大规模物理场粒子问题时

6、，明显发现这种方法可以有效的缩短计算时间。之后也有很多学者作进一步的研究，其中包括李善德[2]研究的Helmholtz方程的快速求解的方法等。本文就声学中的透射问题的一种快速求解方法作了研究。首先将声学中的透射问题对应的Helmholtz方程简化为复合边界积分方程组的形式，及寻求其对应的弱解形式，同时离散为等价的线性方程组。接下来将对边界积分法接下来的计算过程进行改进也是本文的创新所在，分别是对Hankel函数因子分解，同时将离散后的边界积分算子运用因子分解，同时将其边界进行划分、分组求解，将运用边界元方法离散后的线性方程组化为利于迭代的形

7、式，以降低计算的复杂度。最后对所研究问题进行数值模拟，运用改进后的快速多极边界积分法来求所研究的透射问题的数值解，同时与解析解进行对比验证新方法的准确性及优越性。作者简介：李攀，（1988-），女，硕士研究生，偏微分方程及其数值解。通信联系人：潘文峰，（1964-），男，教授，偏微分方程的数值解。E-mail:pan@0>.-1-1标准边界元法的介绍1.1问题陈述45本文要研究的是声波对空间中一可穿透障碍物的透射行为。并且假定目标障碍物是由齐次介质构成的，同时入射波为时谐平面波，声波在目标交界处是连续的并且也具有连续的法c2221s2c

8、1c?u+k12u0在?中（1）50?us+k22us0在?c中同时在边界??上有如下边界条件：uus+ui在?上（2）（3）?u?n?us??ui+在?上（4）其中