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时间:2018-08-05
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1、2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(二)函 数1.映射:AB的概念。在理解映射概念时要注意:⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如(1)设是集合到的映射,下列说法正确的是 A、中每一个元素在中必有象B、中每一个元素在中必有原象 C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合(答:A);(2)点在映射的作用下的象是,则在作用下点的原象为点________(答:(2,-1));(3)若,,,则到的映射有个,到的映射有个,到的函数有个(答:81,64,81);(4)设集合,映射满足条件“对任意的,是奇数”,这
2、样的映射有____个(答:12);(5)设是集合A到集合B的映射,若B={1,2},则一定是_____(答:或{1}).2.函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如(1)已知函数,,那么集合中所含元素的个数有个(答:0或1);(2)若函数的定义域、值域都是闭区间,则=(答:2)3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同
3、,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个(答:9)4.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则):(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数中且,三角形中,最大角,最小角等。如(1)函数的定义域是____(答:);(2)若函数的定义域为R,则_______(答:);(3)函数的定义域是,,则函数的定义域是__________(答:);(4)设函数,①若的定义域是R,求实数的取值范围;②若的值域是R,求实数的取值范围(答:①;②)(2)根据实际问题
4、的要求确定自变量的范围。(3)复合函数的定义域:若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可;若已知的定义域为,求的定义域,相当于当时,求的值域(即的定义域)。如(1)若函数的定义域为,则的定义域为__________(答:);(2)若函数9的定义域为,则函数的定义域为________(答:[1,5]).5.求函数值域(最值)的方法:(1)配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系)
5、,如(1)求函数的值域(答:[4,8]);(2)当时,函数在时取得最大值,则的取值范围是___(答:);(3)已知的图象过点(2,1),则的值域为______(答:[2,5])(2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(1)的值域为_____(答:);(2)的值域为_____(答:)(令,。运用换元法时,要特别要注意新元的范围);(3)的值域为____(答:);(4)的值域为____(答:);(3)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常
6、用的就是三角函数的有界性,如求函数,,的值域(答:、(0,1)、);(4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如求,,的值域为______(答:、、);(5)数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,如(1)已知点在圆上,求及的取值范围(答:、);(2)求函数的值域(答:);(3)求函数及的值域(答:、)注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在轴的同侧。(6)判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其
7、它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式:①型,可直接用不等式性质,如求的值域(答:)②型,先化简,再用均值不等式,如(1)求的值域(答:9);(2)求函数的值域(答:)③型,通常用判别式法;如已知函数的定义域为R,值域为[0,2],求常数的值(答:)④型,可用判别式法或均值不等式法,如求的值域(答:)(7)不等式法――利用基本不等式求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是____________.(答:
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