广东省深圳市2009年高三年级第一次调研考试理科

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1、第14页共14页第14页共14页第14页共14页第14页共14页第14页共14页第14页共14页2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生

2、正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．12345678DCDCABBA二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．9．．10．．11．．12．；．13．．14．．15．．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数．学科网（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）设，求的值域和单调递增区间．学科网【解】（Ⅰ）∵学科网.　　　　　　……………………3分

3、的最小正周期为．…………………5分（Ⅱ）∵，，．的值域为．　　………………10分当递减时，递增．　　　　　　　　　　　　，即．第14页共14页故的递增区间为．　　……………………12分17．（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；(Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？【解】（Ⅰ）证明：平面平面,,平面平面=，平面．平面，，又为圆的直径，，平面．平面，平面平面．…………4分（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有平面，为在平

4、面上的射影，因此，为直线与平面所成的角．………………………5分，四边形为等腰梯形，过点作，交于．,，则．在中，根据射影定理，得．…………7分，．直线与平面所成角的大小为．…………8分(Ⅲ)设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）设，则点的坐标为设平面的法向量为，则,．即令，解得………………10分取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为第14页共14页，即，解得（负值舍去）输入开始结束输出因此，当的长为时，二面角的大小为．………12分18．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋

5、比赛，约定每局胜者得1分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．若右图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总得分数、的程序框图．其中如果甲获胜，输入，；如果乙获胜，则输入．（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．　　　18.【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填，第二个应填．………4分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填，

6、第二个条件框填，或者第一、第二条件互换．都可以．（Ⅱ）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．有．解得或．………………………6分，．…………7分（Ⅲ）依题意知，依题意知，的所有可能值为2，4，6．…………8分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．第14页共14页若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，　，．随机变量的分布列为：…………12分246P故．………………14分19．（本题满分14分）已知函数（，）．（

7、Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．【解】（Ⅰ）…………………2分，由，得．，，．又．函数的单调递增区间为,递减区间为．…………6分（Ⅱ）【法一】不等式，即为．……………（※）令，当时，．则不等式（※）即为．…………………9分第14页共14页令，，在的表达式中，当时，，又时，，在单调递增，在单调递减．在时，取得最大，最大值为．…………………12分因此，对一切正整数，当时，取得最大值．实数的取值范围是．…………………………14分【法二】不等式，即为．………………（※）设，，

8、令，得或．…………………………10分当时，，当时，．当时，取得最大值．因此，实数的取值范围是．…………………………14分20．（本题满分14分）在四边形中，已知，点在轴上，，且对角线．（Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线、，、为切点，为的中点．求证：轴或与轴重合；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解】（