六年级奥数专题：枚举法

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1、六年级奥数专题：枚举法　　我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。　　例1小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断

2、他们两人谁获胜的可能性大。　　分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。　　出现7的情况共有6种，它们是：　　1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。　　出现8的情况共有5种，它们是：　　2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。　　所以，小明获胜的可能性大。　　注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，

3、那就错了。　　例2数一数，右图中有多少个三角形。　　　分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。　　单个的三角形有6个：1，2，3，5，6，8。　　由两部分组成的三角形有4个：　　（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。　　由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。　　由四部分组成的三角形有2个：　　（1，

4、3，4，5），（2，6，7，8）。　　由八部分组成的三角形有1个：　　（1，2，3，4，5，6，7，8）。　　总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。　　对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。　　例3在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？　　分析与解：上珠一个表示5，下珠一个表示1。分三类枚举：　　（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；　　（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；　　（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5

5、010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。　　一共可以表示3＋4＋7=14（个）四位数。　　由例1～3看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。　　例4有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共有多少种不同的展开图？　　分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三

6、类：　　最长一行有4个正方形的有2种，见图（1）（2）；　　最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）～（7）；　　最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。　　不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。　　例5小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？　　分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，

7、而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。　　由上图可知，共有6种不同的安排。　　例6一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能？　　分析与解：与例5类似，也是分步完成一项

8、工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。　　由上图可知，共有5种不同的顺序。　　说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，表示在第一个5分钟内做完了第1题，在第二个5分钟内没做完第2题，这时老师写出第3题，只好转做第3题，做完后再转做第2题。　　例7是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？　　分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题