竖直平面内圆周运动的临界问题及应用

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1、高中物理巧学妙解王第一章高频热点剖析五、竖直平面内的圆周运动版权所有河南省睢县高级中学李仲旭电话：13598362767邮箱：lizhx.888@163.com---22---高中物理巧学妙解王第一章高频热点剖析竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型.一、两种模型模型1：“轻绳类”图1图2绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：

2、在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，(2)小球能通过最高点的条件：，当时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.模型2：“轻杆类”图3图4有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当时，轻杆对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即；②当时，因,则

3、.轻杆对小球的支持力竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是．图5③当时，；④当时，则，即，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度≠(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的换成，若在其他天体上则把换成.二、两种模型的应用【例1】如图5所示，质量为的小球从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的

4、最高点而做圆周运动，问点的高度至少应为多少?图6【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是，根据机械能守恒定律得把代入上式得：．【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电、质量为且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点而做圆周运动，问点的高度至少应为多少?【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点受到三个力作用:电场力，方向竖直向上；重力；弹力，方向竖直向下．由向心力公式，有要使小球恰能通过圆形轨道的最高点而做圆周运动，说明小球此时处于

5、临界状态，其速率为临界速度，临界条件是．由此可列出小球的临界状态方程为①根据动能定理，有②解之得：说明把②式中的换成，较容易求出【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电、质量为且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点而做圆周运动，问点的高度至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点版权所有河南省睢县高级中学李仲旭电话：13598362767邮箱：lizhx.888@163.com---22---高中物理巧学妙解王第一章高频

6、热点剖析而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率为临界速度，临界条件是．由此可列出小球的临界状态方程为：①根据动能定理，有②由上述二式解得：小结上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度减小，例3中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度增大．例2中，；例3中，．把代入各自对应的式子，结果、分别都约去了，故．【例4】如图7所示，一个带正电、质量为的电荷，图7

7、从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点的高度至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，说明小球此时处于临界状态，其速率为临界速率，临界条件是，由此可列出小球的临界状态方程为①，②由①式可得:因只能取正值，即则【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电、质量为的电荷，从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点的高度至少应为多少?

8、图8【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰