机械工程控制基础知识小结：第五章 系统的稳定性

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1、5.1系统稳定性的初步概念系统的不稳定现象*1、线性系统不稳定现象发生与否，取决于内部条件，而与输入无关；2、系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用；3、控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在有初始状态为零时的稳定，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的。系统稳定的充要条件*系统的全部特征根都具有负实部；反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统不稳定。若系统传递函数的全部极点均位于平面的左半平面，则系统稳定；若有一个或一个以上的极点位于平面

2、的右半平面，则系统不稳定；若有部分极点位于虚轴上，而其余的极点均在平面的左半平面，则系统为临界稳定。补充1、一般认为临界稳定实际上往往属于不稳定；2、不稳定区虽然包括虚轴，但并不包括虚轴所通过的坐标原点。5.2Routh稳定判据Routh表与正实部特征根的个数Routh表中第一列各元符号的改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。Routh稳定判据Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。Routh稳定判据的简单形式1、二阶系统稳定的充要条件：，，；2、三阶系统稳定的充要条件：，，，。

3、Routh判据的特殊情况*1、在Routh表中任意一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分不为零：用一个很小的正数来代替第一列等于零的元，然后计算Routh表的其余各元；2、当Routh表的任意一行中的所有元均为零：利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成Routh表的下一行。5.2Nyquist稳定判据幅角定理若平面上的封闭曲线包围着的个零点，则在平面上的映射曲线将绕原点顺时针转圈；若平面上的封闭曲线包围着的个极点，则在平面上的映射曲线将绕原点逆时针转圈；若平面

4、上的封闭曲线包围着的个零点和个极点，则在平面上的映射曲线将绕原点顺时针转圈；的轨迹1、为到的整个虚轴，为半径趋于无穷大的半圆弧；2、由于在应用幅角原理时，不能通过函数的任何极点，所以当函数有若干个极点处于平面的虚轴或原点处时，应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向绕过这些点。Nyquist稳定判据*当由到时，若平面上的开环频率特性逆时针方向包围点圈，则闭环系统稳定。（P为在平面的右半平面的极点数）5.3Bode稳定判据穿越*开环Nyquist轨迹在点以左穿过负实轴正穿越*Nyquist：开

5、环Nyquist轨迹自上而下（相位增加）穿过点以左的负实轴。Bode：对数相频特性曲线自下而上穿过线。负穿越*Nyquist：开环Nyquist轨迹自下而上（相位减小）穿过点以左的负实轴。Bode：对数相频特性曲线自上而下穿过线。半次正穿越Nyquist：开环Nyquist轨迹自点以左的负实轴开始向下。Bode：对数相频特性曲线自开始向上。半次负穿越Nyquist：开环Nyquist轨迹自点以左的负实轴开始向上。Bode：对数相频特性曲线自开始向下。Bode稳定判据在Bode图上，当由变到时，在开环对

6、数幅频特性曲线为正值的频率范围内，开环对数相频特性曲线对线正穿越与负穿越次数之差为时，闭环系统稳定；否则不稳定。Bode稳定判据（最小相位系统，）若，则闭环系统稳定；若，则闭环系统不稳定；若，则闭环系统临界稳定；5.5系统的相对稳定性相位裕度*在为剪切频率时，相频特性距线的相位差值。相位裕度计算式*正相位裕度*Bode：对于稳定系统，必在Bode图横轴以上；自：线以上。Nyquist：对于稳定系统，必在极坐标图负实轴以下。自：第三象限。负相位裕度*Bode：对于稳定系统，必在Bode图横轴以下；自：线

7、以下。Nyquist：对于稳定系统，必在极坐标图负实轴以上。自：第二象限。幅值裕度*当为相位交界频率时，开环幅频特性的倒数。幅值裕度的分贝表示*正幅值裕度*Bode：对于稳定系统，必在0分贝线以下，；Nyquist：对于稳定系统，。自：右侧通过。负幅值裕度Bode：对于稳定系统，必在0分贝线以上，；Nyquist：对于稳定系统，。自：左侧通过。自：有关相位裕度，只要记住：正相位裕度线以上；有关幅值裕度，只要记住：正幅值裕度0分贝线以下。