第五章系统的稳定性 机械工程控制基础 教案

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1、Chp.5 系统稳定性 基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist判据；4．理解Nyquist图和Bode图之间的关系；5．掌握Bode判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist图和Bode图上加以表示。重点与难点本章重点1．Routh判据、Nyquist判据和Bode判据的应用；2．系统相对稳定性；

2、相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode图的表示法。 本章难点   Nyquist判据及其应用。 §1概念 示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输入量种类、性质无关。    ②系统不稳定必伴有反馈作用。（图5.1.3）      若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。

3、      将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定                           若反馈加强E(s) →不稳定    ③稳定性是自由振荡下的定义。即xi(t)=0时，仅存在xi(0-)或xi(0+)在xi(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。2、系统稳定的条件： 对[anpn+an-1pn-1+…a1p+a0]x0(t)=[bmpm+bm-1pm-1+…b1p+b0]xi(t)令B(s)=anpn+an-1pn-1+…a1p+a0 A(s)=bmpm+bm

4、-1pm-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s) 则B(s)X0(s)-B0(s)=A(s)Xi(s)-B0(s)       Xi(s)=0,由初始条件引起的输出：    L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即zi为负值。系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极点全部位于[s]复平面的左半部。讨论：①特征根中有一个或以上的根的实部为正 →系统不稳定；     ②临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。     ③

5、若，则系统不稳定。     ④零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统本身的固有特性。     ⑤稳定性判定方法：a)    直接求解出特征方程的根（高阶困难）b)     确定特征根在[s]平面上的分布：       时域：Routh判据，胡尔维茨判据       频域：Nyquist判据，Bode判据 §2 劳斯（Routh）判据 Routh判据在特征方程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。一、必要条件：特征方程：B(s)=anpn+an-1pn-1+…

6、a1p+a0=0必要条件：B(s)=0的各项系数ai符号均相同，且不等于0;         或an＞0 an-1＞0 … a1＞0 a0＞0（证明）二、充要条件：（Rough稳定性判据）： 1、Rough表：将特征方程系数排成两列：偶：an    an-2    an-4    an-6   …奇：an-1     an-3        an-5         an-7      …Rough数列表：（p.124） sn    an    an-2    an-4    an-6   …    a0

7、 sn-1   an-1     an-3        an-5         an-7      …a1  0 sn-2   A1   A2    A3     …   …     0 sn-3   B1   B2    B3     …   …     0 ┆   ┆   ┆    ┆                    ┆ s0    …   0     0                     02、判据：  Rough列表中第一列各项符号均为正且不等于0  若有负号存在，则发生负号变化的

8、次数，就是不稳定根的个数。例1，已知系统特征方程B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0试判定其稳定性。  解： a4=1  a3=8  a2=17  a1=16  a0=5      (过程)   ai＞0（i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1，8，15，13.3,5)均大于0，故系统稳定。例2，已知系统特征方程B(s)=s3-4s2+s+6=0试判定其稳定性。   解：有一个负系数，不满足稳定的必要条