5.几何变式教学的思考

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1、教学案例：几何变式教学的思考-----从一堂公开课说起【主题阐述】变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时，变更概念非本质的特征，变更问题的条件或结论；转换问题的形式或内容；创设实际应用的各种环境，使概念或本质不变的一种教学方式。数学变式的研究能帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯，提高类比推理的思维能力和数学学习的能力，点燃创新思维的火花。而利用变式教学”和变式训练”，通过对数学问题多角度，多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，构建有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中

2、探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔。笔者有幸于2007年4月在西湖区的初三复习研讨会上，上了一节问题变式探究的公开课，对变式教学有了一些新的感受，请同行们批评指正。【课例描述】一、引例教学：给大家展示的是2006年江西南昌的中考题：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°．则BM=CN：②如图2，在正方形ADBC中，M、N分别是AC、AD上的点．BM与CN相交于点O，若∠BON=90°．则BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下

3、命题：③如图3，在正五边形AEDBC中，M、N分别是AC，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.请你从①．②，③三个命题中选择一个进行证明。在同学们选择其中之一证明以后提出了以下问题：问题1：这个中考题为什么让你从三个命题中选择一个进行证明？问题2：三个命题的证明方式为什么是一样的？用到了哪些知识点？问题3：你能将命题推广吗？问题4：这些命题在证明过程中哪些条件起到解决问题的决定性作用？师生共同探究条件“正多边形”的作用是：(1)　BC=CM边等　　　　　　　　　创造三角形全等的条件(2)∠BCA=∠CAN=∠BON　　　　角等6让同学们体会引例中

4、的条件“正多边形”只是作为命题的背景，在平时的学习中要学会抓住每个条件所起的作用，即抓住问题的本质。一、例题教学：例题：操作：如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN．探究：线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以证明。引导学生用旋转△DCN至△DCN1的方法证明命题成立。引导学生思考：（1）条件BD＝CD所起的作用是什么？（2）∠MDN＝60°与条件∠BDC＝120°有什么关联性？所起的作用是什么？（3）是什么条件保证了A、B、N1三点共线？为什么要证三

5、点共线？若三点不共线，结果会是什么？探究1：若将条件∠MDN＝60°改为∠MDN＝50°，若要使原结论成立，则如何修改原命题？探究2：△ABC中必须满足∠A＝80°，AB＝AC吗？你所添加的这个条件所起的作用是什么？可否用别的条件来替换它？师生共同探究命题的本质：BD＝CD　　　　　　　旋转时，使C与B重合∠BDC＝2∠MDN　　　　　　　∠MDN1＝∠MDN∠ABD＋∠ACD＝180°　　　　　保证了A、B、N1三点共线因此，可将该题一般化，如图，圆的内接四边形ABDC中，BD=DC，M是AB上一点，作交AC于点N，则MN=BM+CN。二、课堂练习：1、已知△ABC中，∠A＝9

6、0°，AB＝AC，D是BC的中点，以D为顶点作一个90°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN.探究：线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以　　　证明．对例题再次变式探究，以达到对命题本质的再认和多题一解的目的。要求：学生在解题之前先思考“这个题与例题有什么关联性？”若有困难，可先解决问题后再思考前面的问题。6共同探究：这个题即是例题的特例，是将例题归纳图中的边BC是圆的直径，点D是圆心，但互补的条件不满足，所以这个图中的△DCN旋转后A、B、N1三点不共线，则三条线段之间应不是原先的关系。而且这个题中的条件AB＝AC是多余的。2、已知ABCD是正方形，E是边D

7、C上一点，作∠EAF＝45°交边CB于点F，连结EF。试探究DE、EF、BF之间的数量关系.要求：学生在解题之前先思考“这个题与例题有什么关联性？”若有困难，可先解决问题后再思考前面的问题。　共同探究：这个题也是例题的特例.　变式1：若点E在射线DC上，则结论将是什么？变式2：若例题中的点M在射线AB上，则结论将是什么？一、领悟提升：　　　　一般在做几何题时，我们的方法是：解决问题透过现象抓住本质反思（1）命题中每个条件所起的作用是什么？　　　　　　　　（2）哪些条件起决定性作用