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1、巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16巧用对称性妙解二重积分16科技信息○高校讲坛○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2010年第33期巧用对称性妙解二重积分余成恩(四川理工学院理学院四川自贡643000)【摘要】利用二重积分在对称区域的性质可以简化积分计算，一些条件不完全具备、看似很复杂甚至无法直接求解的积分只要巧施此法，也能很快求解，效果奇妙。本文以大量例子阐述了如何“巧
2、”用此法获得“妙”的效果，并进行了归纳和总结。【关键词】对称性；奇偶性；二重积分我们知道,运用一元奇(偶)函数在对称区间上的定积分性质(即奇偶对称性)常常可以简化定积分的运算.多元函数的积分也具有相应的性质,利用这些性质往往也能起到很好的化简作用,一些看似很复杂甚至无法直接求解的积分只要巧施此法，便能很快求解，效果奇妙。在多元函数积分的习题里面,大多数积分都涉及到对称性,因此,若能很好的加以应用,对提高解题效率、增强应试能力等都大有帮助。然而,在一般的高数教材里面对此很少提及,虽然有的教师在教学中想极力作些补充,但面对本来繁重的课堂教学任务往往也只能是蜻蜓点水，达不
3、到预期的效果;学术刊物上也有不少关于这方面的著述,但主要还是注重理论推导，对此法的“巧”与“妙”讲得不够深入细仔。因此，笔者觉得对此有必要作一个详细的介绍,但限于篇幅，本文只谈谈该法在二重积分计算中的巧妙运用。不难证得,在对称区域上的二重积分（假设存在）具有如下性质：性质1如果闭区域D关于y轴对称（即D之边界方程以-x代x不变），则［f（x，y）＋f（－x，y）］dxdy蓦f（x，y）dxdy＝蓦f（－x，y）dxdy＝1蓦DD蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦D1xdy＝1所以，D蓦（x计算D+y）dxd16y=4注:此题显然就是巧用对称性,否则,计算非常麻烦.例2蓦xsin（x
4、＋y）cos（x－y）dσ，其中D：0≤x≤1，y222222≤1.解：因为积分区域D关于x轴对称,所以原式＝1D蓦xsin（x＋y）cos（x－y）＋xsin（x－y）cos（x＋y）dσ（巧用性2质1）＝1D蓦xsin2xdσ＝12（1－cos2）乙乙xsin2xdy＝1011dx2－1例3计算D蓦（x－2x＋3y＋2）dσ，其中16D：x＋y≤a（a＞0）.222DD0f（－x，y）＝－f（x，y）f（－x，y）＝f（x，y）（其中D1为D的右半部分）解:因＝2蓦f（x，y）dxdyD蓦xdσ=12蓦（x＋y）dσ＝122D蓦rdrdθ＝πa34（巧用推论2）
5、如果积分区域D关于x轴对称也有相应的性质。性质2如果闭区域D关于原点对称,且f（x，y）关于x，y具有奇偶性，则D蓦（－2x＋3y）dσ＝04（巧用性质2）16222所以，原式＝πa＋0＋2πa＝πa（a＋8）D蓦f（x，y）dxdy＝2蓦f（x，y）dxdy蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦D30f（－x，－y）＝－f（x，y）f（－x，－y）＝f（x，y）（其中D3例4计算D蓦x［1＋yf（x＋y）］dσ，其中f（u）连续，D由曲线y＝x，223322y＝1，x＝－1所围成。解:将D用曲线y＝－x分成两部分D＝D1＋D2（如图所示），则为D的上半部分）上述两个性质常称为积分区域
6、对称性。16根据上述性质还可推得如下重要结论:推论1如果闭区域D关于直线x=a（或y=b）对称，且f（x，y）是关于x－a（或y－b）的奇函数，则D2蓦x［1＋yf（x＋y）］dσ＝蓦x［1＋yf（x2D1D2D蓦f（x，y）dxdy＝0蓦［f（x，y）＋f（y，x）］dxdy＋y）］dσ＋蓦x［1＋yf（x＋y）］dσ2222推论2（轮换对称性）如果闭区域D关于y=x对称（即x、y互换，D之边界方程不变），则＝D1蓦x［1＋yf（x＋16y）］dσ＋022D1（巧用D蓦f（x，y）dxdy＝D蓦f（y，x）dxdy＝1性质1）D计算积分时,如果能将上述性质巧妙地运
7、用于解题,往往可以起到很好的简化作用。例1计算＝D1蓦xdσ＋蓦xyf（x＋y）dσD1－1（巧用性质1）－x33D蓦（x+y）dxdy，其中D：x+y≤1.＝D1.蓦xdσ＋0＝蓦xdσ＝乙dx乙xdy＝－25x解:D关于x轴、y轴对称，且被积函数关于x或y都是偶函数，故例5计算D蓦（x+y）dxdy=4D1蓦D蓦ydxdy，其中D由曲线x＝－姨2y－yDD和x＝0所围成的（x+y）dxdy（其中D1为D在第一象平面闭区域.解:因为限部分）又D1关于y＝x对称，故D1蓦（x+y）dxdy=2D1蓦xdy＝2乙乙11－xD蓦ydxdy＝蓦（y－1）dxdy＋蓦d
