第十讲：三角形中的三角函数问题

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1、三角形中的三角函数问题一、引言（一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的考查内容，高考考纲中就明确提出要加强对正、余弦定理的考查．（二）考纲要求：通过本节的学习掌握正弦定理、余弦定理；并能够应用正弦定理、余弦定理解决问题；同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．（三）考情分析：应用正弦定理、余弦定理解三角形、求值、求参数范围、恒等变形与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归

2、等重要思想重点考查．二、考点梳理1．正弦定理:在中，分别为角的对边，为的外接圆的半径，则有．变形应用:；，，．2．余弦定理：在中，有，；．变形应用:如，．3．三角形的有关公式：（1）射影公式如：．（2）三角形面积公式：．4．熟练掌握下列知识对解三角形有帮助：（1）；；等．（2）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等角对等边，大边对大角，大角对大边．（3）在中，分别为角的对边，若，则；若，则；若，则．三、典型问题选讲例1在中，，则角度数是（）8A．B．C．D．解析:由可得，设，由余弦定理，有，则．故选A．归纳小结：要

3、熟练掌握余弦定理及它的变式的应用，余弦定理还可以改写为，应用它求三角函数值有时比较方便；本题将，转化为，应用余弦定理的变式使问题得以解决．例2在△中，，，所对边的长分别为、、，且，=，则的值是（）A．B．C．D．解析:因为，=，由正弦定理得+==．因为=，所以+=．所以+=．即=．故选C．归纳小结：本题解法中利用正弦定理将条件中三角形三边的数量关系变为角度的关系，这也是正弦定理的重要功能之一，同时本题综合运用两角和与差的正弦公式，这些知识应熟练掌握．例3在中，已知角所对的三边分别为成等比数列．则角的取值范围是（）A．B．C．D．解析：因

4、为成等比数列，所以．由余弦定理得：==．又因为，所以．故选D．8归纳小结：由余弦定理可知，对角B的讨论可以转化为对a、b、c的讨论，利用条件，结合平均值不等式则很容易得出结论，本题是将角的问题转化为边的关系，体现转化思想的应用．例4在中，角所对的三边分别为．求证：．分析：证明三角形中的等式或不等式的问题的关键是利用正弦定理、余弦定理以及其它公式，将边角关系进行互化．证明：由余弦定理可知，，两式相减得：，所以．由正弦定理得，则．归纳小结：此题主要考查正弦定理、余弦定理在证明恒等式中的应用，由等式左边式子联想到余弦定理，运用余弦定理进行转化

5、，由等式右边正弦值联想到正弦定理，运用正弦定理进行转化，从而使问题得以证明．例5在中，已知，=，边上的中线=，求的值．分析：利用题目给的条件，通过作辅助线将已知条件放在同一个三角形中，利用余弦定理求出长，或利用平面几何的知识、向量的知识解决问题．解法1：设为的中点，连接，如图：则//，且==，设，在中利用余弦定理可得：．8所以=+×．解得，(舍)．故．从而．即．又=，故=，=．解法2：以为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点位于第一象限．如图：由=，则=，=．设=(x，0)，则=．由条件得

6、

7、==．从而，=－(舍)．故=．于是=

8、==．所以==．归纳小结：解法1中抓住了边上的中线及构造三角形8，利用余弦定理求出长；解法2是求出向量=，设=(x，0)，利用=(+)=及中线长求出长，两种方法都是围绕条件中的中线长，从用余弦定理解斜三角形，向量，平面几何的不同角度找到突破口，这说明不同知识之间是有着深刻的内在联系的．例6在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b．分析:此题事实上比较简单，但不知从何入手．对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的，总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式．解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:

9、化简并整理得：．又由已知．解得．解法二:由余弦定理得：．又，．所以…………………………………①又，，即．由正弦定理得，故………………………②由①，②解得．归纳小结：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查．在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力．例7已知的周长为，且．（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数．解：（1）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．8（2）由的面积，得，由余弦定理，得，所以．归纳小结：（1）将角的关系转化为边的关系，利用方程思想求解，（2）利用三角形面积公式，及余

10、弦定理求出角的值，体现化归与转化思想．例8在中，，．（1）求角的大小；（2）若最大边的边长为，求最小边的边长．分析：由三角形中，利用两角和的正切公式求得角，由三角函数值判断出最小角，利用正弦定理解决问题．解