加权函数计算圆度

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1、加权区域采样的方法讨论平面图形的圆度（1）郑志兴海洋科学与工程学院08053124联系电话：15022560182（2）邓丽静海洋科学与工程学院08053126联系电话：13920142911（3）刘雪坤材料科学与化学工程学院08033110联系电话：15122537409摘要：本文主要对怎样评价一个平面几何图形接近圆的程度（即圆度）进行讨论，首先建立模型，通过模型来衡量平面几何图形的圆度。在进行讨论时，本文综合了图形几何要素对圆度的影响，分析讨论了已有模型的不足，提出了评价圆度的模型，并进行分析求解讨论和验证。模型一，图形的周长为L，面积为A，则以来衡量其圆度。但它对于边长

2、为无穷大的平面图形（如图一、Koch雪花曲线）计算的圆度为0，与视觉效果不符；模型二以（其中为该图形的直径）来衡量圆度。只要图形的面积和直径的平方的比值是定值，而不管图形中面积是怎样分布的，那么图形的圆度就是定值。这种对圆度的定义忽略了图形中，点的分布不同对圆的视觉效果造成的影响即对圆度的影响，故模型二有它的局限性；模型一和模型二都存在不足，本文引入加权区域采样的方法，建立新的模型。加权区域采样的方法：对于相同面积的区域，当它距离图像中心（即重心）近时，它对图形圆度的贡献越大。当它远离图形中心时，它对图形圆度的贡献越小。本文引入权函数即高斯函数：==通过假设任意平面图形都可以

3、在平面坐标系中用函数解析式表示，并且函数图像连续。假设平面图形的面积都可以通过积分的方法求出来。则定义平面几何图形的圆度通过此模型计算得到以下几个平面几何图形的圆度，如下表所示图形圆形正六边形正方形半圆形图二1/8圆形三角形圆度值0.98630.84780.67090.52740.48710.33940.3261通过上表可得图形的圆度由大到小依次为正六边形，正方形，半圆形，由五个单位正方形组成的图形，圆心角为的扇形，等腰直角三角形，计算结果符合我们的视觉效果，所以本文的模型可以很好的反映出图形的圆度。这种方法可以有效的衡量一个图形接近圆的程度。关键词：圆度加权区域采样重心权函

4、数14一、问题的重述与分析生活中往往遇到这样的问题，即一个平面几何图形，如果不是标准的圆的话，人们还关心它是不是接近于一个标准的圆，或接近到什么程度（即圆度），目前所采用的办法也比较多。模型一，图形的周长为L，面积为A，则以来衡量其圆度，如果一个几何图形不是标准圆的话，圆度的值一定小于1。但这种方法有一定的缺陷，见下面两图图一图二视觉上看，图一应该比图二更圆一些，但图一Koch雪花曲线的边长为无穷大，因此按照上式则圆度为0，而由五个正方形组成的图二的圆度为0.628，与视觉观察不符。模型二（其中为该图形的直径）来衡量圆度，显然对于标准圆，该圆度值为1。问题1：请给出反例，来说

5、明上面模型二的不恰当之处；问题2给出一个评价圆度的数学模型，并根据你所给出的模型讨论下列图形圆度：1.图一Koch雪花曲线；2.图二由五个单位正方形组成的图形；3.正方形；4.半圆形；5.圆心角为的扇形；6.等腰直角三角形；7.正六边形。二、模型假设2.1假设任意平面图形都可以在平面坐标系中用函数解析式表示，并且函数图像连续。2.2假设平面图形的面积都可以通过积分的方法求出来。2.3假设圆的圆度为最大，其他平面图形的圆度都小于圆的圆度。圆度越大，表示图形接近圆的程度越大，反之，圆度越小，表示图形接近圆的程度越小。2.4假设图形的重心是图形所有点集中趋向的位置，点越趋向集中重心

6、，图形越接近圆，图形的圆度越大。2.5假设用加权函数为高斯函数（1）中的特殊情况（2），即14==（1）==（2）三、符号说明3.1——加权函数，高斯函数在的特殊情况；——平面图形的圆度，值越大，表示圆度越大，值越小，表示圆度越小；——平面图形的重心及中心坐标；——平面图形的函数解析式；——平面图形经过平移后的函数解析式；——缩放后图形的标准函数解析式；r——参考圆半径；——修正系数；四、问题的分析与模型的建立生活中往往遇到这样的问题，即一个平面几何图形，如果不是标准的圆的话，人们还关心它是不是接近于一个标准的圆，或接近到什么程度（即圆度），目前所采用的办法也比较多。现在作如

7、下讨论：4.1问题1对于问题1中的假设模型，本文举出反例1：在图三半圆形和图四圆心角为的扇形，根据模型二的假设，图三，半圆形的圆度计算如下：（=0.5）.图四，圆心角为的扇形的圆度计算如下：（=0.5）.14图三图四根据以上计算可知半圆形和扇形的圆度相等，都为0.5，然而两者接近圆的程度不同，与视觉效果不符。模型二的公式可变形为，只要图形的面积和直径的平方的比值是定值，而不管图形中面积是怎样分布的，那么图形的圆度就是定值。这种对圆度的定义忽略了图形中，点的分布不同对圆的视觉效果造成的影响即对圆度的影响，