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时间:2017-11-12
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1、正方形面积的计算技巧广南县珠街中心学校唐修妲大家都知道:计算正方形的面积是用边长乘边长。这是在知道正方形的边长时所用的正方形面积计算方法。如果正方形边长未知,给出的是正方形的对角线的长度,要求正方形的面积,我们该怎么计算呢?下面请看:例:一个正方形的对角线长6厘米,这个正方形的面积是多少平方厘米?解法一:(如图一)6÷2=3(cm)3×3÷2×4=18(cm²)解法二:(如图二)6÷2=3(cm)6×3÷2×2=18(cm²)分析、归纳总结:1、分析“解法一”的解题思路:(1)、正方形的两条对角
2、线(AC、BD)互相垂直且平分,把正方形平均分成了四个完全一样的等腰直角三角形。(2)、求出腰长=对角线÷2(即底和高);(3)、求出一个等腰直角三角形的面积;(4)、求出四个等腰直角三角形的面积,就是正方形的面积。(5)、如果用“c”表示正方形的对角线,则四个小直角三角形的底或高表示为“”.那么正方形的面积=×××4=××4=×4=.2、分析“解法二”的解题思路:(1)、正方形的一条对角线(BD)把正方形平均分成了两个完全一样的三角形。(2)、这两个三角形的底就是这条对角线。(3)、用对角线除
3、以2,就得到这两个直角三角形的高(因为正方形的对角线互相垂直且平分)。(4)、求出一个三角形的面积,再乘2就得到正方形的面积。(5)、如果用“c”表示正方形的对角线,则两个直角三角形的底表示为“c”,高表示为4“c/2”。那么正方形的面积=c×××2=××2=×2=.(6)、如果用“s”表示正方形的面积,那么正方形的面积计算可表示为:s=.通过对“解法一”和“解法二”的解题思路的分析、归纳、总结,我们得出结论:如果正方形边长未知,给出的是正方形的对角线的长度,要求正方形的面积,可用“对角线的长”
4、乘“对角线的长”再除以2。如果用“s”表示正方形的面积,用“c”表示正方形的对角线,那么正方形的面积计算表示为:s=。利用“s=”进行正方形面积的计算,可以使某些复杂的问题简单化,教师易讲,学生易学。下面,我们就利用“s=”来解决相关问题吧。例1:如下图,在一个周长为18.84厘米的圆内画一个最大的正方形,这个正方形的面积是多少平方厘米?(2011年秋季学期六年级数学上册《同步指导》P39,趣味数学第(1)题)。解析:这个圆内最大的正方形的对角线就是圆的直径。所以,根据圆的周长求出直径,就可以求
5、正方形的面积。直径=周长÷π。对角线长(直径):18.84÷3.14=6(㎝)正方形面积:6²÷2=18(㎝²)答:这个正方形的面积是18平方厘米。例2:如下图,大正方形的面积为8㎡,求阴影部分的面积是多少?(2012年春季学期《小学毕业升学考试系统总复习》P35.例5.)4解析:大正方形的面积:AC×BD=8(m²),AC、BD是小正方的对角线,AC=BD,所以小正方形的面积:AC²÷2=4(m²);所以,阴影部分的面积为:8-4=4(m²)或8÷2=4(m²)。答:阴影部分的面积是4平方米。
6、例3:如下图,小圆半径r=2cm,大圆半径R=4cm.求阴影部分的面积。(2012年春季学期《小学毕业升学考试系统总复习》P38.第2题.)解析:阴影部分的面积=大正方形的面积-(环形的面积﹢小正方形的面积)。大正方形的边长:4×2=8(cm),小正方形的对角线长:2×2=4(cm)。列式:8×8-[3.14×(4²-2²)+4²÷2]=8×8-[3.14×12+16÷2]=8×8-[37.68+8]=64-45.68=18.82﹙cm²﹚例4:如下图,小方桌面的对角线长是1米,把它的四边撑开,
7、就成了一张圆桌面,圆桌面的面积有多大?撑开部分的面积是多少?(2012年春季学期《小学毕业升学考试系统总复习》P64.例7.)解析:圆桌面面积就是圆的面积,撑开部分的面积就是阴影部分的面积=圆桌面面积-正方形(方桌桌面)面积。圆桌面的面积:3.14×()²=3.14×=0.785(m²)(方桌桌面)正方形面积:1×1÷2=0.5(m²)撑开部分的面积:0.785-0.5=0.285(m²)答:圆桌面的面积有0.785m²,撑开部分的面积是0.285m².例5:如图:三角形ADC和三角形BCE都是
8、等腰直角三角形,阴影部分是正方形。求三角形ADC与三角形BCE的面积比是多少?(2012年春季学期《小学毕业升学考试系统总复习》P38.第三题.)4解析:若正方形的边长为1,因为三角形ADC和三角形BDE都是等腰直角三角形,所以∠C=∠B=45°,DC=AD=2,BD=1.三角形BCE的面积是以BC(3)为对角线的正方形面积的。即:3²÷2÷2=.三角形ADC的面积为:2×2×=2..所以:三角形ADC与三角形BCE的面积比=2:=8:9参考文献:【1】、小学数学课本第九、十、十一、十二册;【2
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