几种插值法的对比研究

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1、目录一、引言………………………………………………………………………1二、插值问题的提出、发展史及简单应用……………………1（一）插值问题的提出………………………………………………………1（二）插值法的发展史………………………………………………………1（三）插值法的简单应用……………………………………………………1三、几种插值法的定义…………………………………………………2（一)Lagrange插值…………………………………………………………21.Lagrange插值基函数……………………………………………

2、…22.Lagrange插值多项式………………………………………………2(二）Newton插值……………………………………………………………21.差商的定义…………………………………………………………22.Newton插值多项式…………………………………………………3(三）Hermite插值………………………………………………………3(四）分段插值………………………………………………………………3(五）样条插值………………………………………………………………4四、通过举例进行分析比较……………………………

3、…………4（一）例题…………………………………………………………………4（二）分析结果………………………………………………………………8五、几种插值法在MATLAB的实现………………………………81分段插值的MATLAB实现……………………………………………92Hermite插值的MATLAB实现………………………………………93拉格朗日插值的MATLAB实现………………………………………114牛顿插值法的MATLAB实现……………………………………………12五、结束语………………………………………………

4、…………………13参考文献……………………………………………………………………13一、引言近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等世纪问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值等，更获得广泛应用，称为计算机图形学的基础.二、插值问题的提出、发展史及简单应用（一）插值问题的提出许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然在某个区间上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值

5、，这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表.为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表中的函数值.因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算简单函数，用近似.通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为，并使对成立.这样确定的就是我们希望得到的插值函数.（二）插值法的发展史插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋唐

6、刘焯将等距点二次插值应用于天文计算.但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐渐发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果.（三）插值法的简单应用在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其他店的函数值，才能加工出外表光滑的零件.三、几种插值法的定义设函数在区间上有定义，且已知在点上的值若存在一简单函数，使成立,就称为的插值函数，点称为插值节点.（一）Lagrange插值1.Lagrange

7、插值基函数个次多项式称为Lagrange插值基函数.2.Lagrange插值多项式设给定个互异点满足插值条件的次多项式为Lagrange插值多项式.设在上连续，在内存在，节点，称为插值余项，其中（二）Newton插值1.差商的定义关于的零阶差商关于的一阶差商以此类推，关于的阶差商2.Newton插值多项式设给定的个互异点得推导得其中为Newton插值多项式，为插值余项.（一）Hermite插值设已知互异点及对应的函数值为导数值为存在函数满足条件：（1）是一个次数不超过3的多项式（2）则称为Hermite插

8、值多项式.三次Hermite插值多项式：余项为:个次Hermite插值多项式及其余项分别为：其中是Lagrange插值基函数，，其中且与有关.（二）分段插值设在区间上给定个插值节点和相应的函数值记求做一个插值函数，具有性质：（1）；（2）；（3）在每个区间内上是线性函数.则称为分段线性插值函数.（一）样条插值设在区间上取个节点给定这些点函数值若函数满足条件：在每个区间上是3次多项式；；取下列边界条件之一：（ⅰ）第一边界条件：；