中心极限定理收敛速度的探讨

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1、皖西学院本科毕业论文（设计）中心极限定理收敛速度的探讨作者苗鑫指导教师赵攀摘要概率论极限理论是概率论的重要研究内容，也是概率论其它分支和数理统计的重要理论基础。本文在参考相关研究的基础上，深入地探论了在独立不同分布随机变量序列的条件下，关于的收敛速度精确程度问题，并给出了一些实例说明。关键词随机变量，相互独立，收敛，特征函数ThediscussiononconvergencerateofthecentrallimittheoremAuthorMiaoxinGuidanceteacherZhaopanAbstractThelimittheoryisanimportantrese

2、archtopicinprobabilitytheory,andimportanttheorybaseoftheprobabilitytheoryormathematicalstatistics.Onthecorrelativestudiesbase,theproblemonconvergencespeedoftheisfurtherdiscussedintheconditionsofindependentnon-identicallydistributedrandomvariablesequenceinthispaper,andsomeexamplesaregiven.Ke

3、ywordsrandomvariable，inter-independent,convergence，characteristicfunction.15皖西学院本科毕业论文（设计）本文使用的缩写及符号说明：（一）缩写：随机变量分布函数相互独立同分布几乎必然地无穷多个事件发生随机变量的数学期望随机变量的方差事件的示性函数任意非空集合上的代数关于绝对连续集合对任意的（二）记号说明：，，，，，，，，，，，，，不等式，其中当时，；当时，。15皖西学院本科毕业论文（设计）不等式设，有公式其中1引言概率论极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论其它分支和数理统计的重要理论基础。概率论的

4、认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义，因此概率论极限理论一直以来就是众多国内、外学者研究的重要课题之一，并且得到了许多深刻而有实际意义的结果。近年来关于概率论极限理论的工作主要有两大类：一是减弱或去掉独立性的条件，在各种相依条件下研究上述有关随机变量序列极限收敛的问题，如关于在等各种混合条件下极限理论的研究；关于鞍或半鞍序列极限理论的研究；关于各种统计量极限理论的研究等。然而，由于问题的复杂性，对于相依随机变量序列的部分和的极限问题的讨论，目前，较多的是对某些特殊相依类型的随机变量序列部分和和鞅差序列及特殊平稳序列进行的

5、研究并取得了一些不错的结果，。二是把对随机变量序列极限理论的研究发展到各种随机过程在各种空间中极限定理的研究，而把所研究的随机变量序列嵌入到某个随机过程中去，如在Banach空间中随机元、Hilbert空间中的极限，概率测度弱收敛和强逼近等现代极限理论。即便如此，在相互独立条件下随机变量序列的极限定理仍然是最基本的，也是最有启发的，具有优良的极限性质，对这类随机变量己获得相当完美的经典结果，许多其他场合下极限定理的结果都会参照独立场合下的结论和条件，在许多本科概率论教材中只给出了独立情况下的中心极限定理；本文中，我们参考了相关的先进研究成果，深入地讨论了在独立不一定同分布随机

6、变量序列的条件下，关于的收敛速度精确程度问题，并给出了一些实例说明。15皖西学院本科毕业论文（设计）2几个经典的中心极限定理定理1（林德贝格-勒维中心极限定理）设是独立同分布的随机变量序列，且，，记则对任意实数，有定理2（隶莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设在重伯努利试验中，事件在每次试验中出现的频率为，记为次试验中事件出现的次数，另记，则则对任意实数，有定理3（林德贝格中心极限定理）设随机变量序列满足林德贝格条件，则对任意实数，有定理4（李雅普诺夫中心极限定理）设随机变量序列相互独立，若存在，满足，则对任意实数，有这些概率论教材中的经典中心极限定理，给出了随机变量序列在满足不同

7、的条件下，它们和的分布趋向于正态分布，但并没有告诉我们随着随机变量数目的增加它们和的分布趋向于正态分布的速度是什么样的，即我们用正态分布来逼近它们和的分布误差有多大？下面我们就来探讨一些这个问题。15皖西学院本科毕业论文（设计）3主要结果为了证明的需要，我们先引入几个引理：引理1设是某随机变量的分布函数，是实可微函数且，，则存在常数，使得对任意都有不等式其中，。证明因为是有界，有限故上式右边的积分存在，有的定义可知存在一个实数序列使得，由于因此实数序列有一个有限的极限点，记为，又连续所以有或，不妨让，令