概率论的发展简介和应用

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1、中国计量学院毕业设计（论文）文献综述学生姓名：陈静莉学号：0700802116专业：数学与应用数学班级：07数学1班设计（论文）题目：Taylor公式的一些应用指导教师：罗先发二级学院：理学院2011年3月10日7在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，在很多领域有重要的应用，如在近似计算、求极限问题、解决中值问题、估计无穷小（大）量的阶、判定级数的敛散

2、性、研究函数的泰勒展开等方面，通过查阅大量文献资料，以下将通过泰勒公式的内容以及各方面的应用定理来介绍泰勒公式。◇泰勒公式泰勒公式的定义定义：对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个次多项式:称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式，的各项系数:称为泰勒级数；带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式定理：若函数在存在直至阶导数,则有，即（1）称(1)式为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项为佩亚诺（Peano）型余项,所以（1）式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。7注1、若在点附近满足（2）其中，这时并不意味着必定

3、就是的泰勒多项式；注2、满足（2）式要求（即带有佩亚诺型误差）的次逼近多项式是唯一的；注3、当=0时的特殊形式：它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式。带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式定理（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得：（3）式同样称为泰勒公式，它的余项为：，，称为拉格朗日（Lagrange）型余项，所以（3）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。7注1、时，（3）式即为拉格朗日中值公式，所以，泰勒公式也可以看做拉格朗日中值定理的推广；注2、当

4、时，得到泰勒公式：称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。泰勒公式的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶的无穷小量，而泰勒公式的拉格朗日型余项是一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。常见函数的泰勒展开式（文献）：....◇泰勒公式的应用若把看成定点，看成动点,则（1）、（3）式通过定点处的函数值及导数值表达动点处的函数值7；当问题涉及到2阶以上的导数时，通常可考虑用泰勒（Taylor）公式求解，这里关键在于选取函数，点，展开的阶次，以及余项形式，根据需要，一般应选在选在有特点的地方，例如使某的地方等（文献[2]）

5、；泰勒公式在近似计算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为,其误差是余项；泰勒公式在求极限的应用为了简化极限运算，有时可用泰勒展开式来代替其中的一项，使得原来的函数的极限问题转化为多项式有理分式的极限问题。并且还可以解决一些用洛必达法则较难解决的题（文献[11]）。求未定式的极限利用罗必达法则是很有效的，但是对某些未定式的极限并不方便，甚至不能求出，此时可利用带余项的泰勒展开式再配合中值定理加以解决，利用罗必达法则求未定式的极限时，其结果是化成某阶导数的比，而泰勒公式的各项系数正分别含

6、着各阶导数的值，罗必达法则所肯定的结论可以在特殊条件下，用泰勒展开式推导出来。所以可利用已知函数的泰勒公式求未定式的极限（文献[8]）泰勒公式在解决中值问题上的应用二元函数的中值定理和泰勒公式与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于元函数（）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些；定理（中值定理）：设二元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，则对内任意两点，存在其，使得（4）注、公式（4）也称为二元函数（在凸域上）的中值公式；定理（泰勒公式）：若函数在点的某邻域内有直到7阶的连续偏导数，则对在任一点，存在相应的，使得(5)(5)式称为二元函数在点

7、的阶泰勒公式，其中；注、易见公式（4）正是泰勒公式（5）在时的特殊情形；泰勒公式在估计无穷小（大）量的阶上的应用如何估计无穷(小)大量的阶,对于简单函数可用估猜法,但对于复杂的函数就无能为力了,但用带佩亚诺（Peano）型余项的Taylor公式就可迎刃而解（文献[13]）；泰勒公式在判断级数敛散性的应用利用泰勒公式把一些级数的通项近似表示成幂函数和的线性组合，误差为高阶无穷小，根据级数和的收敛情况比较容易地判别级数的敛散性（文献[6]）；在级数敛散性的判断方面,除了直接使用Taylor公式外,有时还使用Taylor公式的中值形式，且在解决一些复杂问题

8、时可能连续多次使用Taylor公式（文献[7]）；泰勒公式在研究函数的泰勒展开上的应用函数的Taylor展式