全国各重点大学自主招生面试、笔试试题及模拟题汇编及详解答案（文理科数学、化学、物理、语文）

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1、第120页共120页第120页共120页第120页共120页第120页共120页第120页共120页第120页共120页2010北大自主招生（三校联招）数学部分1．（仅文科做），求证：．【解析】不妨设，则，且当时，．于是在上单调增．∴．即有．同理可证．，当时，．于是在上单调增。∴在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解．2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当中有一点位于点时，知另一点位于或者时

2、有最大值为；当有一点位于点时，；第120页共120页⑵当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）．不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上．且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有．于是由⑴，⑵知．不妨设为．下面研究正五边形对角线的长．如右图．做的角平分线交于．易知．于是四边形为平行四边形．∴．由角平分线定理知．解得．3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）【解析】不妨设过点的切线

3、交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点．如图．设，且有．由于，于是的方程为；①的方程为．②联立的方程，解得．第120页共120页对于①，令，得；对于②，令，得．于是．．不妨设，，则③不妨设，则有6个9个．④又由当时，③，④处的等号均可取到．∴．注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由知当时；当时．则在上单调减，在上单调增．于是当时取得最小值．4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）【解析】不妨设，夹角为，则，令．其对称轴为．而在上单调增，故．

4、当时，，解得．当时，在上单调增，于是．不合题意．第120页共120页于是夹角的范围为．5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）【解析】不存在；否则有，则或者．若，有．而此时不成等差数列；若，有．解得有．而，矛盾！北约自主招生试题1．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，值域为．试求函数（）的最小正周期和最值．2．（本小题满分12分）两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知,是方程x2－5x+6=0的根，若两人各射击5次，甲的方差是．(1)求p1、p2的值；(2)两人

5、各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？(3)两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？3．（本小题满分12分）P是以为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知第120页共120页=0，．（1）试求双曲线的离心率；（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当，=0，求双曲线的方程．4．（本小题满分14分）设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[2，3]时，222233．（1）求的解析式；（2）若在上为增函

6、数，求的取值范围；（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．北约自主招生试题答案1．解析：…………………………4’当＞0时，，解得，………………………………………………………………6’从而，，T=，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’当m＜0时，解得，………………………………………………10’从而，，T=，最大值为，最小值为．……………………………………………………………………12’2．解析：(1)由题意可知x甲~B(5,p1)，

7、第120页共120页∴Dx甲=5p1(1－p1)=Þp12－p1+=0Þp1=．2分；又·=6，∴p2=．3分(2)两类情况：共击中3次概率C()2()0×C()1()1+C()1()1×C()2()0=；共击中4次概率C()2()0×C()2()0=．6分所求概率为+=．8分(3)设事件A,B分别表示甲、乙能击中．∵A,B互相独立（9分），∴P(`A·`B)=P(`A)P(`B)=(1－P(A))(1－P(B))=(1－p1)(1－p2)=×=（11分），∴1－P(`A·`B)=为所求概率．12分3．解（

8、1）∵，，∴，．∵=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴．……………………4分（2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．∵，∴．∵，∴………8分∵点P在双曲线上，∴．化简得，．∴．∴．∴双曲线的方程为…12分第120页共120页4.解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3；当x