各高校自主招生试题汇编(数学)

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1、各高校自主招生试题汇编（数学）1．（2009同济）有12盏路灯，现在要熄灭3盏，其中两端的路灯不能熄灭，相邻两盏路灯不能同时熄灭，共有种方案.2．（2009同济）是奇函数，当时，，当时，GHFDEABC3．（2009同济）四边形ABCD是正方形，如图，以AD边为轴轴，旋转角得AEFD，再以AE为轴，旋转角得AEGH，求平面AEGH与ABCD的所成角.4．（2009同济）已知道等比数列首项为2，公比为。已知数列，首项为，向量，对于任意，总有，（1）求的通项公式.（2），求.（3），若，求的取值范围.5．（2009同济）已知表示圆锥曲线，若

2、一点，满足，则表示在圆锥曲线内部.（1）若，求证：在曲线内部的充要条件是是曲线的某条弦的中心.（2）若，求证：在曲线内部的充要条件是是曲线的某条弦的中点.（3）若，该圆锥曲线为双曲线，定义双曲线的内部为双曲线上任意两点连线中点所构成的区域，试在图中表示出该区域.2011年“北约”13校联考自主招生数学试题：6、有两个定圆，问另一个动圆与这两个圆都相切，求它圆心的轨迹并证明。8、求

3、X-1

4、+

5、2X-1

6、+

7、3X-1

8、+……+

9、2011X-1

10、的最小值。1、（三函解几）已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线

11、长。2、（解几方程）求过抛物线Y=2X^2-2X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。4、（三函不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？2011年华约试题：(1)设复数z满足

12、z

13、<1且则

14、z

15、=()(2)在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、P

16、B的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为。则异面直线DM与AN所成角的余弦为()(6)已知异面直线a，b成60°角。A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面()A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个(7)已知向量则的最小值为()(8)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为()(10)将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）A存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C

17、存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。（I）若b=3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？（13）已知函数。令。(I)求数列的通项公式；(II)证明。（14）已知双曲线分别为C的左右焦点。P为C右支上一点，且使。（I）求C的离心率

18、e；(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（I）求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列{pn}的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。