复杂网络度分布的研究

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1、复杂网络度分布的研究11.复杂网络的研究对象12.复杂网络的研究内容13.复杂网络中的三个概念14.复杂网络的几何量15.社会网络与其它网络的判别指标26.随机网络－ER模型27.随机网络的研究宗旨28.子图出现的临界概率39.子图临界概率存在的证明310.BA模型与度的幂指分布411.BA模型构造的网络度符合幂指形式的证明4复杂网络度分布的研究－复杂网络度分布的研究河北工大硕士论文陈德伟指导教师：何文辰1.复杂网络的研究对象用来描述真实网络统计特征的物理量主要有度分布、平均路径长度、聚集系数、相关系数等，都是力求更加详细、精确的描述复杂的真实网络。寻找网络各种

2、宏观统计性质的微观生成机制一直都是网络研究中一项极具意义而且也是极具挑战性的工作。现在人们已经对复杂网络的小世界性质和无标度特征的微观生成机制有了一定的认识，但是度的相关性、团体性质、分层结构等更为复杂的宏观统计性质的微观生成机制的探索还处于起步阶段。对不同结构复杂网络的鲁棒性和脆弱性(vulnerability)的研究也是一个具有广泛应用价值的课题。2.复杂网络的研究内容目前，复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题。3.复杂网络中的三个概念三种概念在当代

3、对复杂网络的思考中占有重要地位。第一，小世界概念；第二，集群即集聚系数的概念；第三，幂律的度分布概念。4.复杂网络的几何量直径：网络的直径是指任意两个顶点之间最短路径的最长长度(包含的边数)。集聚系数：对于网络中的任意一个节点来说，其集聚系数表示与相连的节点中任意两点之间相互连接的概率。它可定义如下：如果与节点相连的点的数目为，则在这个节点之间最多存在条边，而实际存在的可能只有条边，则得到的集聚系数为.对具有个节点的网络来说，网络的集团系数则被定义为网络中所有节点的集聚系数的平均值。.随机图的度分布：令随机网络中度的平均值为，随机图的度分布服从下列泊松分布.泊松

4、分布的形式在处达到峰值，小世界网络的度分布类似泊松分布。无标度网络的度分布：许多大的网络不服从泊松分布，如WWW，新陈代谢网络，这些网络都服从幂律分布形式，这样的网络称为无标度网络。度分布函数反映了网络的宏观统计性质，是现阶段网络分类的主要依据之一。介数：介数分为边介数和节点介数。节点的介数为网络中所有的最短路径中经过该节点的数量比例；边介数的含义与之类似。介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用和影响力。5.社会网络与其它网络的判别指标两种相关性－不同度数的节点之间的相关性、节点度分布与其集聚系数之间的相关性，在判别中起重要作用。社会网络中为正而为负，其它

5、类型的网络则相反。6.随机网络－ER模型Erdos和Renyi在1959年提出了随机网络ER模型。ER模型中有个标了号的节点，个节点中任意两个点被连接的概率为。因此，所有边的数目是一个随机变量，期望值为。如果是一个有个节点和条边构成的图，则出现的概率即为各边出现的概率，亦即.7.随机网络的研究宗旨从个孤立的节点开始，分别取和，并以相同的概率连接每一对节点，从图中可看到树和圈等结构的出现。随机图论研究具有个节点的随机图在时概率空间的性质。随机图的大部分性质可用概率论的方法加以确定。Erdos和Renyi定义：当时，如果拥有性质的概率接近1，那么几乎每个随机图都存在

6、性质。随机图理论的目的就是确定在多大连接概率时网络的特殊结构(或性质)最容易体现出来。在数学中，随机图的构建称之为演化。从个孤立的节点开始，通过连续加大随机连接概率使系统演化。Erdos和Renyi最重要的发现就是，随机图的很多重要性质都是在演化过程中突然出现的。也就是说对某种性质(或结构)存在一个临界概率，如果当时，则几乎可以肯定网络没有性质；相反，如果当时，则几乎可以肯定网络具有性质。8.子图出现的临界概率Erdos和Renyi研究随机图的第一个性质就是子图的出现，比如环、树和完全图。为研究一般情形下子图出现的临界概率，令图中有个节点，某子图由个点和条边构成

7、。图中可能存在很多这样的子图，下面来研究到底存在多少这样的子图。从个节点中取出个节点可以有种方式，形成条边的概率为(注意，当研究网络中是否具有某种结构(如环)时，非研究对象的边(如圈内部的边)是否存在不影响结果)，交换个节点的位置共可以得到个子图，其中是相互同构的子图的数目。因此，图中存在子图数目的期望为.(1)可证，几乎所有个节点的随机图都包含上述子图(个点条边)的临界概率为。因此有下列结论：I.存在一个阶树的临界概率为，(树满足)；II.存在一个阶环的临界概率为，(环满足)；III.存在一个阶完全图的临界概率为。从上图中可以看出，当，随机图中只存在孤立的节点

8、和边，当，四阶树开始出现