高等数学方明亮版第八章答案

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1、高等数学方明亮版第七章习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）集合是开集，无界集；边界为或.（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为.（3）集合是开集，区域，无界集；边界为.（4）集合是闭集，有界集；边界为2.已知函数，试求.解.3.设，证明：.解.4.设，求.解由于，则.5.求下列各函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）定义域为；（2）定义域为；（3）定义域为，即第一、三象限

2、（不含坐标轴）；（4）定义域为；（5）定义域为；（6）定义域为.6.求下列各极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）；（2）；（3）因为，且有界，故；（4）；（5）；（6）当，时，有，而按夹逼定理得7.证明下列极限不存在：（1）；（2）设.证明（1）当沿直线趋于时极限与有关，上述极限不存在.（2）当沿直线和曲线趋于有，，故函数在点处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）；（2）.解（1）函数在处无定义，故该点为函数的间断点；（2）函数在抛物线上无定义，故上的点均为函数

3、的间断点.9.用二重极限定义证明：.证，其中，于是，，；当时，有成立，由二重极限定义知.10.设，证明是上的连续函数.证设.，由于在处连续，故，当时，有.以上述作的邻域，则当时，显然，从而，即在点连续.由的任意性知，作为、的二元函数在上连续.习题7－21.设在处的偏导数分别为，，问下列极限是什么？（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）；（2）；（3）；（4）2.求下列函数的一阶偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（10）.解（1），；（2），；（3），；（4）

4、，；（5），；（6），；（7），；（8），；（9），，；（10），，.3.设，求，.解法一由于，所以，；由于，所以，.解法二，，，.4.设，求.解法一由于，.解法二，.5.设，求，.解，.6.设，证明.解由于，，所以.7.（1）在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？（2）在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，就是曲线在点处的切线对于轴正向所成倾角的斜率，而，即，于是倾角.（2）按偏导数的几何意义，就是曲线在点处的切线对于轴正向所成倾角的斜率，而，即，于是倾角.8.求下列函数的

5、二阶偏函数：（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求和；（4）求、、和.解（1），；（2），；（3），，；（4），，，，，.9.设，求，，及.解因为，，，，，，，，所以，，，.10.验证：（1）满足；（2）满足.证（1）因为，，所以；（2）因为，，由函数关于自变量的对称性，得，，所以.习题7－31.求下列函数的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1），，；（2），由函数关于自变量的对称性可得，；（3）；（4）；（5）；（6）.2.求下列函数的全微分：（1）在，处的全微分；（

6、2）在，处的全微分.解（1）因为所以；（2）因为所以.3.求函数当，，，时的全微分.解因为所以当，，，时全微分为.4.求函数当，，，时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为所以当，，，时全微分的值为，而当，，，时的全增量为，全增量与全微分之差为.习题7－41.设，，，求.解.2.设，而，，求.解.3.设，，，求，.解，.4.设，而，，求，.解，.5.设，，求，.解，.6.设，，，，求，，.解，，.7.设，，，求，，并验证：.解，，则.8.设，，，求.解.9.求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数

7、）：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1），；（2），，；（3），，；（4），.10.设，而，为可导函数，证明：.证.11.设，试证：.证.12.设，且函数具有一阶连续偏导数，试证：.证，，，.13.设，试证：.证，，.14.求下列函数的二阶偏导数，，（其中具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）令，，则，和是中间变量.，.因为是和的函数，所以和也是和的函数，从而和是以和为中间变量的和的函数.故，，.（2）令，则是以为中间变量的和的函数.，.因为是的函数，所以也是的函数，从而是以

8、中间变量的和的函数.故，，.（3）令，则，.，，.（4）令，，，则，.，，.习题7－51.设，求.解设，则.2.设，求.解设，则.当时，由知，所以.3.设，求.解设，则.4.设，求，.解设，则，.5.设方程确定了函数，其中存在偏导函数，求，.解，.6.设由方程分别可确定具有连续偏导数的函数，，，证明：.证因为，，，所以.7.设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足.证令，，则，，.，.于是.8.设，求.解设，则，.于是，.9.设是由方程