复习一元二次方程知识精讲(教师用)

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1、复习一元二次方程知识精讲（教师用）【本讲知识要点】1.一元二次方程的定义及解法：一元二次方程概念的学习，要抓住其本质：含有一个未知数，未知数的次数是二次，且是整式方程。它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）解一元二次方程时，如果方程符合直接开平方的特点，就采用直接开平方法。其次考虑因式分解法，因为这种方法最快捷，再次考虑求根公式法，这种方法是万能的，它能求所有有实数根的一元二次方程，最后考虑配方法，因为这种方法较为复杂，但这种方法很重要，在后面的学习中要会用配方方法解决有关知识，同时这种方法常用于证明一个式子恒大于零或恒小于零。

2、2.根的判别式与根与系数的关系（韦达定理），3.一元二次方程的应用11对于列一元二次方程解应用题，关键是审清题意，发现题目中明显的或隐藏的等量关系，将其转换成数学式子，就可获得方程从而解决问题。其基本步骤有：（1）审题、明确已知量与未知量，找出等量关系。（2）设未知数，可直接设也可间接设。（3）列方程，把等量关系转化为方程。（4）解方程。（5）检验，结果是否符合实际意义。（6）写出答语。【典型例题】（一）基础知识题例1.用适当的方法解下列方程：分析：根据方程特点选择方法。解：11说明：一元二次方程解法的选择，一般为直接开平方法（特定形

3、式）→因式分解法→公式法，若没有特别说明一般不采用配方法，其中公式法是一般方法适用于任意一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解方程时比较简便。例2.试根据m的值讨论关于x的方程分析：本题没有明确方程的类别（方程的次数），应分类讨论，因此，先要对二次项系数m－2是否为0展开讨论。在m－2≠0的情况下再利用判别式来分析。解：（1）11（*）例3.若两个关于x的方程x2＋x＋a＝0与x2＋ax＋1＝0有一个公共的实数根，求a的值。分析：首先理解公共根的意义，就是同时满足两个不同方程的根，其次利用“转化”思想，利用方程的根的定

4、义，将公共根代入两个方程，再利用方程组求a的值。解：设两个方程的公共根为x0，则（二）应用专题1.有关数字问题解数字问题关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续整数（或连续偶数、奇数）问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般不直接设这个多位数，而是设这个多位数的某位上的数字，再用代数式表示其余数位的数字，然后根据题中提供的数量关系列方程。11例1.一个两位数、十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的

5、两位数。分析：先理解数与数字之间的关系。两位数=十位数字×10+个位数字再将原来的两位数和对调后的两位数列表分析解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为5-x解方程得：答：原来的两位数是32或23。2.有关面积问题解这类问题的关键是：（1）熟记特殊图形的面积公式；（2）会将不规则图形变换成规则图形，再找出各部分面积之间的关系，然后运用面积公式列出方程。例2.如图所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为16米11）并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板。求仓库的长和宽各是多少米？分析：如图所

6、示，根据题意知，32米木板只须同三面、两面宽、一面长，还有1米宽的门。若设宽为x米，则长应为（32+1-2x）米。解：设仓库的宽为x米，则长为（33-2x）米依题意得：x(33-2x)=130整理得：2x2-33x+130=0检验：答：仓库的长为13米，宽为10米。3.有关增长率（降低率）问题解这类题的关键是能理解“增长了”与“增长到”的区别，并能理解第二次增长是在第一次的基础发生的。会通过分析、归纳，并记住公式：b=a（1±x）n其中a为增长（或降低）的基础数，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的数

7、量。例3.某农场的产量两年从50万公斤增加到60.5万公斤，求平均每年的增长率。分析：增长了增长到第一年50x50+50x=50(1+x)11第二年50(1+x)·x50(1+x)+50(1+x)·x=50(1+x)2解：设平均每年的增长率为x经检验：x=-2.10不合题意，舍去。答：平均每年增产率为10%。4.有关利润问题解决这类题的关键掌握两个基本数量关系：（1）利润=售价-进价（单件）（2）每件商品的利润×销售量=总利润例4.将进货价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，

8、为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时的进货量应为多少个？售价定为多少时能获得最大利润，最大利润是多多少？分析：这个问题不能直接设，应设每个商品涨价x元，根据涨价1元，售量会减少10个，涨价x元，其销售量会减少10