义务教育2016-届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：函数、导数及其应用

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1、第一节　函数及其表示[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解构成函数的要素，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用.1.考查方式多为选择题或填空题．2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如2012年新课标全国T10等．3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如2012年江西T3等.[归纳·知识整合]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B

2、是两个非空集合对应关系f：A→B按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射[探究]　1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念(1)函数

3、的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

4、x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．[探究]　2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sinx与y＝cosx，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不

5、是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有(　　)①函数是定义域到值域的对应关系；②函数f(x)＝＋；③f(x)＝

6、5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；⑤f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数．A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个解析：选B　由函数的定义知①正确；②错误；由得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0的定义域为{x

7、x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给

8、出的对应是从集合A到B的映射的有(　　)①集合A＝{P

9、P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A＝{P

10、P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)

11、x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A＝{x

12、x是三角形}，集合B＝{x

13、x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A＝{x

14、x是新华中学的班级}，集合B＝{x

15、x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C　由于新华中学的每一个班级里的学生都不

16、止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．3．(2012·江西高考)若函数f(x)＝则f(f(10))＝(　　)A．lg101B．2C．1D．0解析：选B　f(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝________.解析：∵f(x)＝，∴f(4)＝＝－3.∴f(f(4))＝f(－3)＝＝.∵f(a)＝2，即＝2，解得a＝14.答案：　145．(教材习题改编)A＝{x

17、x是锐角}，B＝(0,1)

18、，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素相对应的A中的元素是________．解析