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时间:2018-08-03
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1、格点型面积例题精讲板块一正方形格点问题在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点.在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.那么,格点多边形的面积如何计算?它与格点数目有没有关系?如果有,这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧!用N表示多边形内部格点,L表示多边形周界上的格点,S表示多边形面积,请同学们分析前几个例题的格点数.
2、我们能发现如下规律:.这个规律就是毕克定理.毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点,它的边界上有L个格点,则它的面积为.page69of69【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个?【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个.面积等于2平方厘米的三角形有8个.(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下:①②③底为2,高为1底为2,高为1底为1,高为23×2=6(个)3×2
3、=6(个)3×2=6(个)④⑤⑥底为1,高为2底为2,高为1底为1,高为23×2=6(个)2×2=4(个)2×2=4(个)所以,面积等于1平方厘米的三角形的个数有:6+6+6+6+4+4=32(个).(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下:3×2=6(个)1×2=2(个)所以,面积等于2平方厘米的三角形的个数有:6+2=8(个).【例2】如图,的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有个.【解析】根据正方形的大小,分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形(如右图).的正方形:9个;的正方形:4个;的正方形:1个;以正方形对角
4、线为边长的正方形:4个;以长方形对角线为边长的正方形:2个.故可以组成(个)正方形.【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?【解析】根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线段,顶点要在格点上!所以只有⑴page69of69是格点多边形.【例1】如图,计算各个格点多边形的面积.【解析】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了.方法一:图⑴是正方形,边长是4,所以面积是(面积单位);图⑵是矩形,长是5,宽是3,所以面积是(面积单位);图⑶是三角形,底是5,高是4,所以面积是(面积单位);图
5、⑷是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是(面积单位);图⑸是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面积是(面积单位);图⑹是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面积是(面积单位).【巩固】如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么?(教师总结:面积数值均扩大4倍.)方法二:以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外,我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发,即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求.这一种方法很重要,在下面的题目中我们还将使用这种方法!如图⑶,我们利用“扩展法”将其转化,如图所示,
6、从图中易知三角形面积是长方形面积的一半.如图⑷,我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边,转化成一个长方形,从中易得平行四边形面积.同理,图⑸、⑹也可利用同样的思想.【例2】如图(a),计算这个格点多边形的面积.【解析】方法一(扩展法).这是个三角形,虽然有三角形面积公式可用,但判断它的底和高却十分困难,只能另想别的办法:这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内,除此之外还有其他三个直角三角形,如下右图(b),这三个直角三角形面积很容易求出,再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.矩形面积是;直角三角形Ⅰ的面
7、积是:;直角三角形Ⅱ的面积是:;直角三角形Ⅲ面积是;所求三角形的面积是(面积单位).方法二(割补法).将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形,如(c)图.因此三角形的面积是:(面积单位).【例3】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网,计算阴影部分的面积.【解析】扩展法.把所求三角形扩展成正方形ABCD中.这个正方形中有四个三角形:一个是要求的page69of69;另外三个分别是:ABE、FEC、DAF,它们都有一条边是水平放置的,易求它们的面积分别为,,.所以,图中阴影部分的面积为:().【例1】分别计算图中
8、两个格点多边形的面积.⑴⑵【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位.⑵的面积均为10面积单位.【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢?”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与
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