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1、UeberdieHypothesen,welchederGeometriezuGrundeliegen.BernhardRiemann[AusdemdreizehntenBandederAbhandlungenderK¨oniglichenGesellschaftderWissenschaftenzuG¨ottingen.]TranscribedbyD.R.WilkinsPreliminaryVersion:December1998Corrected:April2000UeberdieHypothesen,welchederGeometriezuGrundeliegen.Bernhar
2、dRiemann[AusdemdreizehntenBandederAbhandlungenderK¨oniglichenGesellschaftderWissenschaftenzuG¨ottingen.]PlanderUntersuchungBekanntlichsetztdieGeometriesowohldenBegri desRaumes,alsdieerstenGrundbegri efurdieConstructioneninRaumealsetwasGegebenes¨voraus.SiegiebtvonihnennurNominalde nitionen,w¨ahr
3、enddiewesentli-chenBestimmungeninFormvonAxiomenauftreten.DasVerh¨altnissdieserVoraussetzungenbleibtdabeiinDunkeln;mansiehtwederein,obundinwieweitihreVerbindungnothwendig,nochapriori,obsiem¨oglichist.DieseDunkelheitwurdeauchvonEuklidbisaufLegendre,umdenbe-ruhmtestenneuerenBearbeiterderGeometriezu
4、nennen,wedervonden¨Mathematikern,nochvondenPhilosophen,welchesichdamitbesch¨aftig-ten,gehoben.EshattediesseinenGrundwohldarin,dassderallgemeineBegri mehrfachausgedehnterGr¨ossen,unterwelchemdieRaumgr¨ossenent-haltensind,ganzunbearbeitetblieb.Ichhabemirdaherzun¨achstdieAuf-gabegestellt,denBegri e
5、inermehrfachausgedehntenGr¨osseausallgemei-nenGr¨ossenbegri enzuconstruiren.Eswirddaraushervorgehen,dasseinemehrfachausgedehnteGr¨osseverschiedenerMassverh¨altnissef¨ahigistundderRaumalsonureinenbesonderenFalleinerdreifachausgedehntenGr¨ossebildet.HiervonaberisteinenothwendigeFolge,dassdieS¨atze
6、derGeome-triesichnichtausallgemeinenGr¨ossenbegri enableitenlassen,sonderndassdiejenigenEigenschaften,durchwelchesichderRaumvonanderendenk-barendreifachausgedehntenGr¨ossenunterscheidet,nurausderErfahrungDieseAbhandlungistam10.Juni1854vondemVerfasserbeidemzumZweckseinerHabilitationveranstaltete
7、nColloquiummitderphilosophischenFacult¨atzuG¨ottingenvor-gelesenworden.Hierauserkl¨artsichdieFormderDarstellung,inwelcherdieanalytischenUntersuchungennurangedeutetwerdenkonnten;einigeAusfuhrungenderselben ndet¨maninderBeantw
