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《含有参数激励非线性动力系统的现代理论的发展》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、ADVANCESINMECHANICS1998年2月25日Feb.25,1998含有参数激励非线性动力系统的Ξ现代理论的发展张伟陈予恕天津大学力学系,天津300072摘要本文综述了含有参数激励的非线性动力系统的响应、分岔与混沌问题的研究现状和方法,讨论了所存在的问题及其发展趋势.关键词参数激励,非线性动力系统,分岔,混沌1前言分岔和混沌现象的深入研究是当前国际上非线性动力系统的前沿课题.对于分岔的研究不但可以得到周期解的失稳及其控制条件,而且可以搞清楚产生混沌的机理.在非线性振动理论中目前最具有代表性的一类系统是含有参数激励的非线性动力系统,在这类系统中有着极其丰富和复杂的动力学行为,
2、如分岔、分形和混沌特性等.因此国内外有许多研究者从各个方面对这类系统进行了详细研究,并且获得了许多很有意义和重要的结果.含有参数激励的非线性动力学问题大致可以分为以下几类:(1)单参数激励的振动问题,如Mathieu方程,Hill方程,Mathieu2Duffing方程.(2)参数激励2自激联合作用下的振动问题,如Mathieu2vanderPol方程.(3)参数激励2强迫激励联合作用下的振动问题.(4)参数激励2强迫激励2自激联合作用下的振动问题.(5)参数激励2随机激励联合作用下的振动问题.在数学上,含有参数激励的非线性动力学问题导致对具有变系数常微分方程的研究.对于单自由度系统来
3、说,上述五类问题可以用一个最一般形式的微分方程表述如下:¨x+δ[x+h(x,x,σ,δ)]+(ω2+σ)x+f(x,x,σ,ε)+(2εcos2t)[x+g(x,x,σ,ε)]=εF(Ωt)+εξ(t)(1)这里f,g,h是x,x的二次以上的非线性解析函数,并且依赖于小参数εδ,σ,,F(Ωt)是时间t的周期为T=2π/Ω的周期函数ξ,(t)是随机函数.由于ω和Ω取值的不同,可以有许多种共振情况,主要有以下三种情况:国家自然科学基金资助项目收稿日期:1996201231,修回日期:1997201201Ξ(1)当ω=1,Ω=2时,称为1/2亚谐共振或主参数共振.(2)当ω=1,Ω=1时
4、,称为主共振或主参数共振.(3)当m1ω+m2Ω+2m3=0时,称为组合参数共振.从目前已经发表的专著和文献来看,许多学者对含有参数激励的非线性动力学问题都给予了极大的重视,并做出了许多开拓性的工作.前苏联的Bogoliubov和Mitroplsky[1]在他们的著名著作“非线性振动中的渐近方法”中用平均法研究了Mathieu方程的渐近解.他们的著作对推动非线性振动理论和应用的全面发展起到了划时代的意义.在60年代和70年代美国的C.S.Hsu[2～4]利用三级数(KBM)对一些含有参数激励的线性和非线性动力系统进行了详细的研究,他已经注意到了系统参数的改变会引起解的数目和类型的变化,
5、用现代的术语来说就是分岔.他的研究工作是这个时期最具有代表性的工作之一,为以后一些工作的开展起到了铺路搭桥的作用.在70年代后期和80年代,以美国的A.H.Nayfeh[5～7]为首的一些学者利用多尺度法等多种方法对许多含有参数激励的非线性动力系统进行了极为详细的研究,并且发现了许多重要的现象.初期他们的工作主要集中在研究这类系统的响应上,80年代中后期他们把注意力转向了对这类系统的分岔和混沌问题的研究,获得了大量的研究成果,于1990年创办了“NonlinearDynamics”国际杂志.他们还进行了非线性动力学的机械模型实验研究.值得指出的是从60年代开始,Minnesota大学的
6、P.R.Sethna在非线性动力学领域做出了卓越的贡献,在70年代他已把分岔理论引入到非线性振动理论中,他和他的学生A.K.Bajaj[8]一起利用分岔理论研究了含有参数激励的非线性动力系统的分岔,获得了许多有意义的结果.在1993年的“NonlinearDynamics”国际杂志上,为了纪念Sethna教授70寿辰,S.W.Shaw和A.K.Bajaj[9]撰写了一篇纪念文章,详细介绍并且高度评价了他对非线性动力学理论的重大贡献.从80年代初期开始,P.Holmes和J.Guckenheimer[10]对分岔理论、混沌理论以及分岔理论和混沌理论与非线性振动理论的结合上做出了具有重大意
7、义的贡献,他们给出的研究方法为对含有参数激励的非线性动力系统的分岔与混沌问题的深入研究提供了强有力的工具.至今为止他们的专著[10]已成为研究分岔和混沌问题的重要文献之一.我国的陈予恕教授[11,12]从80年代中期开始利用Liapunov2Schmidt方法和奇异性理论研究了含有参数激励的非线性动力系统的分岔,获得了许多重要的结果.他的研究成果对于推动我国在含有参数激励的非线性动力系统的分岔和混沌的研究方面起到了重要的作用,并于1993年创办
