平 面 向 量 旋 转 的 畅 想

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1、平面向量旋转的畅想我们所处的世界是飞旋的世界．旋转变换问题在我们的生产、生活中，在科学技术研究中累见不鲜，在中学数学教学中更是无法回避．但《高中数学教学大纲》的几次调整将解决旋转变换问题的知识工具，如坐标轴的旋转、极坐标、复数乘除法的几何意义等悉数删除．或许课程编制者们也发现了这个问题，在本次新课改时，于人教版《数学·必修4》习题2.5中给出了一个向量旋转的坐标公式．虽然只是惊鸿一瞥，却引起了人们无限的遐思．1平面向量旋转的几个结论定理1对任意平面向量=，把绕其起点沿逆时针方向旋转角，得到向量，则向量=．xyABPO证明：如图1-1，有向线段的方

2、向与轴的正向相同，设以，，有，C则==．图1-1注：定理中，若沿顺时针方向旋转角，则角为负角．该定理证明方法不是唯一的，此处所选证明方法是以学生已有认知为基础的．推论1对任意平面向量=，把绕其起点沿逆时针方向旋转角，得到向量，若点的坐标为，则点的坐标为．推论2对任意平面向量=，若，把绕其起点沿逆时针方向旋转角，再把所得向量的模伸长（或缩短）到得到向量，则向量．推论3对任意平面向量=，把绕其起点沿逆时针方向旋转角，得到向量，若点在原点，点的坐标为，则点的坐标为．若学生有复数乘除法的认知基础，则向量旋转有如下结论：定理2把向量绕其起点沿逆时针方向旋转

3、角，并将模伸长（或缩短）到原来的倍，则．若学生有向量外积的认知基础，则向量旋转有如下结论：定理3设是所研究的平面的单位法向量，将向量逆时针方向旋转角，得到向量,则向量．若学生有矩阵的认知基础，则向量旋转有如下结论：定理4对任意平面向量=，把绕其起点沿逆时针方向旋转角，得到向量，且向量=，则．2平面向量旋转的本质特征及应用（1）旋转点的追踪定位向量是即有大小又有方向的量，向量发端于物理中的运动力学．而数学中的向量是可以自由移动的．平面向量旋转更具有明显的动态特征，能准确反映运动中的点的相对位置和运动姿态，在军事、航海、搜救等领域有广泛应用．平面向量

4、旋转公式在中学数学中被用于求旋转点的坐标，这是静态的求角公式无法比肩的．例1已知平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标．解因为所以由推论1可知点的坐标为即点．（2）相关点的信息旋转传递向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，这里的旋转传递过程是一个形象的说法，它实为一个映射过程，是一个线性变换过程．在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势．例2设平面内曲线的每一点绕坐标原点逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求曲线的方程．解设曲线上任意一点的坐标为，点绕坐标原点沿逆

5、时针方向旋转后得到点，则由推论3得因为点在曲线上，所以，即，整理，得曲线的方程．（3）代数式的旋转向量造影平面向量旋转具有代数与几何双重特征，因此在中学数学中,一些代数、三角函数问题可以通过构造平面向量旋转的模型,犹如医学中的造影一样,让代数式有迹可循,从而达到数形结合解决问题的目的．A(o)BCDExy例3求值：．解设,如图2-1，正五边形ABCDE的边长为1，向量,可认为由向量分别沿逆时针方向旋转而得到．则由定理1可知，图2-1．因为，所以．（4）几何图形的旋转向量描述向量具有与数学多个分支广泛联系的特征，如函数、三角、复数、几何、解析几何、

6、近世代数等均与向量联系紧密，这使得向量的运算功能十分强大，应用十分广泛．在中学数学中，将几何图形中的线段改画为有向线段，将静态的角看成是由向量旋转而得的角，几何图形顿时显得动感十足，生机无限．平面向量旋转与不同数学分支联合，其公式表现出不同的形态，如本文中的定理1、定理2、定理3、定理4，应用它们就展现出不同的解题方法．ABCDE例4如图2-2，是两个不全等的等腰直角三角形，现固定，而将绕点在平面上旋转，试证：不论旋转到什么位置，线段上必存在点，使为等腰直角三角形．(1987年全国高中联赛试题)ACDMEB图2-2图2-3证法一如图2-3，设，，

7、是所研究平面ABC的法向量，则由定理3可得，，，，所以.设，则,.是等腰直角三角形，，比较与，得，即，所以不论旋转到什么位置，线段上必存在中点，使为等腰直角三角形．证法二如图2-4，建立直角坐标系．设,，．则，，．由推论2，得，．又，，要使为等腰直角三角形，则逆时针旋转应为，即yx(O)ABMCED，故，即且．解之，得，，即．图2-4所以，不论旋转到什么位置，线段上必存在中点，使为等腰直角三角形．证法三如图2-4，建立直角坐标系．由定理2，得，，，，若使为等腰直角三角形，则需，即，解之，得．所以不论旋转到什么位置，线段上必存在中点，使为等腰直角三

8、角形．注：①证明过程中用到以下两个结论：；．②该题还可用复数的三角形式等方法给出证明．3综述正是因为平面向量旋转具有上述若干特征，所以它