四点共圆在平面几何问题解决中的应用

《四点共圆在平面几何问题解决中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、四点共圆在平面几何问题解决中的应用中学数学杂志2013年第8期ZHONGXUESHUXUEZAZHI四点共圆在平面几何问题解决中的应用浙江省温州市绣山中学1四点共圆在三角形中的应用BD，CE是它的两条例1如图1，在锐角△ABC中，C引直线DE的垂线，BF⊥DE于F，CG⊥高线，分别过B，DE于G，求证：EF=DG．FG为分析由已知可得，四边形BCGF为直角梯形，一腰，要证EF=DG，只需作梯形的中位线OH，则OH⊥9FG，如果证得EH=DH，则EF=DG显然成立．FG的中点分别为O，H，取BC，连

2、接OH，则OH是直角梯形BCGF的中位线．证明BF⊥DE，CG⊥DE，因为OH∥BF∥CG，所以OH⊥DE．因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC=∠BDC=90°，E、D、C四点共圆．因为OH⊥DE，ED为圆O的一即B、EH=DH．因为FH=GH，EH所以由垂径定理可得，条弦，=DH，所以EF=DG．例3PE⊥PB，EF∥BC，对角线AC上一点，交CD于E，交AB图3图4如图4，在边长为10的正方形ABCD中，点P为325000=∠ADP．蒋必昆通过以上问题的解决，四点共圆的方法在四边形中得到

3、了应用，同时培养了学生将四边形问题转化为圆的问题这一转化思想．以上问题还可以推广为如下问题：BF=y，于点F．设AP=x，求y关于x的函数关系式．P、B、C、E四点共圆，P、F、B、E四点分析由已知可得，共圆，从而∠PFE=∠PBE=∠PCE=45°，因此，△9AFP为，显然AF=即y=10－等腰直角三角形，BC⊥CE，解连接PF．因为PE⊥PB，所以∠BPE+B、C、E四点共圆，∠BCE=180°，即P、所以∠PBE=F、B、E四∠PCE=45°．因为∠BFE=∠BPE=90°，即P、图1图2通

4、过以上问题的解决，使学生学会了以某两点为端点的线段且在线段的同一侧所对的角相等的四个点共圆的方法．利用四点共圆可以将三角形中的线段问题转化为圆中弦的问题，从而达到了解决三角形中的问题．以上的问题还可以做如下变式训练：BD，CE是它的两条高线，如图2，在锐角△ABC中，连接DE，若S△ABC=4S△AED，求∠BAC的度数．2四点共圆在四边形中的应用．例2分析P为平形四边形ABCD内一点，且如图3，将△ABP沿线段BC方向平移至△DCE，连接点共圆，所以∠PFE=∠PBE=45°．因为∠FAP=45

5、°，∠AFP=45°，所以△AFP为等腰，直角三角形，即AF=故y=10－通过以上问题的解决，使学生学会了对角互补的四边又可以拓宽学生的解题思路，形的四个顶点共圆的方法，提高了学生分析问题和解决问题的能力．以上问题还可以做如下的变式训练：AD∥9BC，如图5，梯形ABCD中，2AB=DC，AC，BD是对角线，求证：BD=DC2+ADBC．3四点共圆在圆中的应用．AB，AC切⊙O例4如图6，C两点，P是弧BC上任意一于B，图5∠PAD=∠PCD．求证：∠ABP=∠ADP．PE，则∠DCE=∠ABP，

6、且四边形APED为平行四边形，从而∠PAD=∠PED，∠ADP=∠DPE，这样就把已知条件中的两个角与求证中的两个角集中在一个四边形中，再C、E、D四点共圆，从而有根据∠PED=∠PCD得到P、∠DCE=∠DPE，即∠ABP=∠ADP，命题得证．证明将△ABP沿线段BC方向平移至△DCE，连接PE，AP=DE，则∠DCE=∠ABP，因为AP∥DE，所以四边形APED是平行四边形，所以∠PAD=∠PED，∠ADP=∠DPE．因为∠PAD=∠PCD，所以∠PED=∠PCD，C、E、D四点共圆．所以∠D

7、CE=∠DPE，从而P、故∠ABP（与两端点B，C不重合），PD⊥点，BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别E，F．求证：PD2=PEPF．为D，图6题，应用四点共圆方法来证明△PDE与△9FPD相似．DE，PC，FD．因为PD⊥BC，PE⊥证明连接PB，AB，D、B、E四点共圆，所以∠PDB+∠PEB=180°，即P、所以∠PED=∠PBD，∠PDE=∠PBE．因为PD⊥BC，49分析从求证出发考虑问ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2013年第8期时进一步开拓学生解题的视野．上

8、面的问题还可以做如下的变式训练：PF⊥AC，D、C、F四点所以∠PDC+∠PFC=180°，即P、所以∠PDF=∠PCF，∠PFE=∠PCD．因为AB，共圆，AC是⊙O的切线，所以∠PBE=∠PCD，∠PCF=∠PBD，所以∠PDE=∠PFD，∠PED=∠PDF，从而PEPD2=，△PDE∽△PFD，即故PD=PEPF．PFPD通过以上问题的解决，使学生进一步掌握对角互补的四边形的四个顶点共圆的方法，同时落实了四点共圆在圆中的应用．上面的问题还可以做进一步的拓展如下：PT是公切线，