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1、多项式回归分析的例子 例如,不能用变量代换的方法将其转换为可按线性模型方式分析的模型,需要使用多项式回归分析方法,令,,,则模型变换为,即可按线性模型方式进行分析。 若回归方程是下面这样拟合的非线性方程: ,(1)其中所有的都是自变量的已知函数而不包括任何未知参数,若令 , , ………………… ,则式(1)可写成 ,从而可按多元线性回归方式进行分析处理。 多项式回归在回归问题中占特殊的地位,因为任何函数至少在一个比较小的邻域内可用多项式任意逼近,因此通常在比较复杂的实际问题中,可以不问与诸因素的确切关系如何,而用多项式回归
2、(当然首先应试用最简单的一次多项式即线性回归)进行分析和计算。例在某化合物的合成试验中,为了提高产量,选取了原料配比()、溶剂量()和反应时间()三个因素,试验结果如表１所示,请用多项式回归模型拟合试验数据(显著性水平等于0.05)。表１试验序号原料配比()溶剂比例()反应时间()收率()11.0131.50.33021.4193.00.33631.8251.00.29442.2102.50.47652.6160.50.20963.0222.00.45173.4283.50.482 若收率()与原料配比()、溶剂量()和反应时间()三个因素之间的函数关系近似满足二次
3、回归模型:,(其中溶剂用量对作用很小,建模时可以不考虑),按表２数据进行数据输入:表２序号时间()时间^2()配比×时间()收率()11.5 2.25 1.50.33023.0 9.0 4.20.33631.0 1.0 1.80.29442.5 6.25 5.50.47650.5 0.25 1.30.20962.0 4.0 6.00.45173.512.2511.90.482 本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标 名称:收率 单位:?因素１名称:时间 单位:?因素２名称:时间^2 单位:
4、?因素３名称:配比×时间 单位:?-------------------多元回归分析-------------------回归分析采用全回归法,显著性水平α＝0.05拟建立回归方程:ｙ=b(0)+b(1)*Ｘ(1)+b(2)*Ｘ(2)+b(3)*Ｘ(3)回归系数b(i):b(0)＝5.79e-2b(1)＝0.252b(2)＝-6.48e-2b(3)＝2.83e-2标准回归系数B(i):B(1)＝2.62B(2)＝-2.76B(3)＝1.02复相关系数Ｒ＝0.9838决定系数Ｒ^2＝0.9679修正的决定系数Ｒ^2a＝0.9518回归方程显著性检验:
5、 变量分析表变异来源平方和自由度均 方均方比回 归Ｕ＝6.27e-2Ｋ＝3Ｕ/Ｋ＝2.09e-2Ｆ＝30.14剩 余Ｑ＝2.08e-3Ｎ－１－Ｋ＝3Ｑ/(Ｎ－１－Ｋ)＝6.93e-4 总 和Ｌ＝6.48e-2Ｎ－１＝6 样本容量Ｎ＝７,显著性水平α＝0.05,检验值Ｆt＝30.14,临界值Ｆ(0.05,3,3)＝9.277,Ｆt＞Ｆ(0.05,3,3),回归方程显著。剩余标准差ｓ＝2.63e-2回归系数检验值:ｔ检验值(df＝3):ｔ(1)＝5.313ｔ(2)＝-5.033ｔ(3)＝4.862Ｆ
6、检验值(df1＝1,df2＝3):Ｆ(1)＝28.22Ｆ(2)＝25.33Ｆ(3)＝23.64偏回归平方和U(i):U(1)＝1.96e-2U(2)＝1.76e-2U(3)＝1.64e-2偏相关系数ρ(i):ρ1,23＝0.9507ρ2,13＝-0.9456ρ3,12＝0.9420各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):U(1)＝1.96e-2,U(1)/U＝31.2%U(2)＝1.76e-2,U(2)/U＝28.0%U(3)＝1.64e-2,U(3)/U＝26.1%第３方程项[Ｘ(3)]对回归的贡献最小,对其进行显著性检验:检验值Ｆ(3)＝23.64,临界值
7、Ｆ(0.05,1,3)＝10.13,Ｆ(3)＞Ｆ(0.05,1,3),此方程项显著。残差分析: 残差分析表№观测值回归值观测值－回归值(回归值－观测值)/观测值×100(%)１ 0.330 0.333-3.00e-3 0.909２ 0.336 0.350-1.40e-2 4.17３ 0.294 0.296-2.00e-3 0.680４ 0.476 0.439 3.70e-2-7.77５ 0.209 0.205 4.00e-3-1.91６ 0.451 0.473-2.20e-2 4.8
