空间点到面的距离专题测试

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1、2011届高考数学第一轮课时精练测试题专题十一空间点到面的距离一、选择题(每小题6分,共36分)1.平面α内的∠MON=60°,PO是α的斜线,PO=3,∠POM=∠PON=45°,那么点P到平面α的距离是(  )A. B.C.D.【解析】 cos∠POM=cos∠POH·cos∠MOH,∴=cos∠POH.∴cos∠POH=.∴sin∠POH=,∴PH=PO·sin∠POH=3×=.【答案】 A2.在正三棱锥P—ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为(  )A.aB.aC.aD.a【解析】 作PH⊥平面ABC于H,

2、连结CH并延长,交AB于D,连结PD,由PH·CD=PC·PD,求得PH=a.【答案】 C3.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为(  )A.B.C.D.【解析】 A1B1∥面D1EF,∴G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离.在△A1D1E中,过A1作A1H⊥D1E交D1E于H,显然A1H⊥面D1EF,则A1H即为所求,在Rt△A1D1E中,A1H===.【答案】 D4.空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a

3、,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则点P与Q的最小距离为(  )A.B.aC.aD.a【解析】 当P、Q为中点时,PQ为AB和CD的公垂线,此时最短,求出得PQ=a.【答案】 B65.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB∶A′B′等于(  )A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3【解析】 由已知条件可知∠BAB′=,∠ABA′=,设AB=2a,经计算BB′=a,A′B=a,∴在Rt△BB′A′中得A′B′=a,∴AB∶A′B′=2∶1.【答案

4、】 A6.已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,点A∈m,点B∈n,记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则(  )A.b≤c≤aB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤a【解析】 如图:α∥β,考虑m,n异面时,m和n的距离等于α、β间距离,点A到n的距离可以如下作出:过A作AO⊥面β于O,过O作OC⊥n于C,则AC为A点到直线n的距离,显然,此时c≤b≤a,故选D.【答案】 D二、填空题(每小题6分,共18分)7.如图所示,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=1.若二面角C—AB—C1的大小为60°,

5、则点C到平面ABC1的距离为________.【解析】 如图所示,在△ABC中,AB=1,则AB边上的高CD长度为,∠C1DC=60°.∴CC1=,C1D=.在△CDC1中,CO⊥C1D,由图可知CO为面ABC1的垂线,∴由等面积法可得C1D·CO=CD·CC1.∴CO=.【答案】 8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M为AC边上的一个动点,则PM的最小值为________.【解析】 作CH⊥AB交AB于H,连结PH.∵PC⊥平面ABC,∴PH⊥AB,则当点M在H处时,PH最小.6∵

6、AC=8cos60°=4,∴CH=4sin60°=2,∴PH==2,即PM的最小值2.【答案】 29.(2008年全国Ⅰ)已知菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角A—BD—C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离等于________.【解析】 如图所示,取BD中点E,连接AE、CE.∵△ABD、△BCD均为等腰三角形,∴AE⊥BD,CE⊥BD,∴BD⊥平面AEC.∴∠AEC为二面角A—BD—C的平面角,∴∠AEC=120°.在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE的延长线上.∵BD⊥平面

7、AEC.∴BD⊥AH.又AH⊥CE,∴AH⊥平面BCD.∵∠BAD=120°,∴∠BAE=60°,∴cos∠BAE=,∴AE=1.又∠AEH=60°,∴AH=.【答案】 三、解答题(10,11每题15分,12题16分,共46分)10.如图所示,棱长均为a的正三棱柱中,D为AB中点,连结A1D,DC,A1C.(1)求证:BC1∥面A1DC;(2)求BC1到面A1DC的距离.【解析】 (1)证明:如图所示,连结AC1交A1C于E,连结DE,则DE∥BC1,而DE⊂平面A1DC,∴BC1∥平面A1DC.(2)∵BC1∥平面A1DC,∴BC1上任一点到平面

8、A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离.∴求C1到平面A1DC的距离即可.∵平面A1DC过线段AC1中点,∴A到平面

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