基于“消元法”的数学思考

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1、基于“消元法”的数学思考作者：孟祥文指导老师：侯小华我们常常采用“消元法”来求解二元一次方程组.如，我们把两式相加便可以把消去，得到，从而求出方程组的解.在方程中我们把未知数看成一种“元素”，试想在几何和一些复杂代数式中是否也存在可以“消去”的“元素”呢？类比求解二元一次方程组的“消元法”张景中院士提出了一种解决几何问题的方法——“消点法”.笔者认为张景中先生把构成几何图形的“点”看成了一种可以消去的“元”，我们可以用“消点法”一步一步地把所有几何约束的点进行化解，以至最终得到问题答案.此外笔者在进行高中数学教学的时候，受“消点法”的启示，在一些高中数列、函数、方程等问题中也可以类比“消元法”

2、进行解决。在许多问题中，不同类型的代数式（如根式、分式等）、函数（正弦、余弦等）、符号（如不同字母、边角等）会出现在同一个问题中，我们可以类比代数中求解二元一次方程组的“消元法”，把问题中不同类型的代数式、函数等逐一“消去”，问题便可以变得简单很多.下面结合几道例题来具体介绍一下这种“消元法”.例4.解方程：.分析：方程中未知数符号包含两种类型：整式、根式.现在我们需要“消去”一种.方法（一）：把整式“消去”：把转化成，则原方程变为：..方法（二）：把“消去”（可以进行换元，也可以移项后等号两边平方），具体步骤略.例5.已知数列满足：，求数列的通项公式.分析：给出的条件关系式中包含两种类型的代

3、数式：整式和分式.方法（一）：把整式“消去”：两边取倒数，得：即：3所以数列是以为首项，为公差的等差数列.得：.方法（二）：把分式“消去”：等号两边同乘最简公分母，得：两边同除以得：所以数列是以为首项，为公差的等差数列.得：.例6.在中，内角的对边分别为，已知,求的值.分析：给出的条件关系式中包含两种类型的符号：角和边.方法（一）：把边“消去”：利用正弦定理，得：,即有,即,所以=2.方法（二）：把角“消去”：利用余弦定理推论，化简整理得：，（具体步骤略）.再根据正弦定理即得：=2.在高中数学中，利用这种“消元”解决的问题特别多.它其实更多的是一种转化思想，我们利用各种转化，可以实现这种“消元

4、”，从而使许多问题变得简单易解.在这里笔者做了许多归纳：（1）根式和整式同时出现：可以加根号“消”整式，也可以两边平方去根式.（2）整式和分式同时出现：两边取倒数“消”整式（也可以分母变成1，弦切转化的时候经常用到）；也可以同乘最简公分母“消”分式.（3）不同次幂同时出现：两边取对数“消”指数，如.3（4）边角同时出现：可以借助正弦定理、余弦定理“消”边或“消”角.（5）正弦、余弦同时出现，弦切同时出现，不同倍数的角的三角函数同时出现：借助三角函数恒等变换，如可以“消”正切，可以“消”二倍角，可以“消”二次项等.类似的“消元”还有很多，在这里就不一一举例.在中学数学教学中，许多数学解题方法都可

5、以进行延伸.还有很多像“消元法”这种经典数学解题思想值得我们去探究.[1]张景中.新概念几何[M]北京：中国少年儿童出版社，2002.作者信息孟祥文数学与统计科学学院2012级学科教学（数学）联系方式：EMAIL:caoren1988@126.com手机：186150234123