2011年高考试题分类考点24 数列求和及综合应用

2011年高考试题分类考点24 数列求和及综合应用

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1、考点24数列求和及综合应用一、选择题1.(2011·江西高考理科·T5)已知数列 {}的前项和满足:+=,且=1,那么=()(A)1(B)9(C)10(D)55【思路点拨】【精讲精析】选A.2.(2011·安徽高考文科·T7)若数列的通项公式是n=(-1)n(3-2),则…()(A)15(B)12(C)12(D)15【思路点拨】观察数列的性质,得到【精讲精析】选A.故二、填空题3.(2011·江苏高考·T13)设,其中成公比为q的等比数列,成公差为1的等差数列,则q的最小值是________.【思路点拨】本题考查的是等差

2、数列与等比数列的综合问题,解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点,从而找到q满足的关系式,求得其最小值.【精讲精析】由题意:,,,而的最小值分别为1,2,3;.【答案】4.(2011·浙江高考文科·T17)若数列中的最大项是第项,则=_______________.229【思路点拨】可由不等式组解得.【精讲精析】设最大项为第项,则由不等式组得,即,解得,故.【答案】4三、解答题5.(2011·安徽高考理科·T18)在数1和100之间插入个实数,使得这+2个数构成递增的等比数列,将这+2个数的乘积记作,令,(Ⅰ)求数列

3、的通项公式;(Ⅱ)设求数列的前项和.【思路点拨】本题将数列问题和三角函数问题结合在一起,解决此题需利用等比数列通项公式,等差数列前n项和公式,及两角差的正切公式等基本知识.【精讲精析】(Ⅰ)设这+2个数构成的等比数列为,则,则,,又所以(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果,知另一方面,利用得所以2296.(2011·江苏高考·T20)设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数kM,当整数n>k时,都成立.(1)设M={1},,求的值;(2)设M={3,4},求数列的通项公式.【思路点拨】本题考查的是等差

4、数列概念、前n项和与通项关系,其中(1)问较为容易,(2)问解决的关键是抓住题目的的转化从中找到解决问题的规律.【精讲精析】(1)由题设知,当时,即,从而,又,故当时,,所以的值为8.(2)由题设知,当,且时,且,两式相减得,即,所以当时,成等差数列,且也成等差数列,从而当时,,且.所以当时,,即,于是,当时,成等差数列,从而,故由式知,即,当时,设,当时,,从而由式知,故,229从而,于是.因此,对任意都成立.又由(可知,故且.解得,从而,.因此,数列为等差数列,由知,所以数列的通项公式为.7.(2011·新课标全国高

5、考理科·T17)等比数列的各项均为正数,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设求数列的前n项和.【思路点拨】第(Ⅰ)问可由,联立方程组求得和公比,从而求得的通项公式.第(Ⅱ)问中,需先利用对数的性质化简,再用裂项相消的方法求数列的前项和.【精讲精析】(Ⅰ)设数列的公比为q,由得所以.由条件可知,故.由得,所以.故数列的通项公式为=.(Ⅱ ).故,.所以数列的前n项和为.2298.(2011·新课标全国高考文科·T17)已知等比数列中,,公比.(1)为的前项和,证明:.(2)设,求数列{}的通项公式.【思路点拨】第(1)问利用

6、等比数列通项公式和求和公式求出,然后证明等式成立;(2)利用对数的性质化简,即得{}的通项公式.【精讲精析】(1),.(2).数列{}的通项公式为=.9.(2011·广东文科·T20)设b>0,数列}满足a1=b,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,b+1.【思路点拨】(1)把题中条件变形为,构造成为,转化为等比数列,求得的通项公式,进而求出的通项公式.(2)利用均值不等式证明.【精讲精析】(1)由已知得,当时,上式变形为:,即数列是以为首项,以为公比的等比数列,由等比数列的通项公式得:,解得;当时,

7、有,即{}是首项公差均为1的等差数列,则.综上所述.229(2)方法一:当只需证当b=1时,bn+1+1=2=2an,综上所述方法二:由(1)及题设知:当时,+1=2=2;当时,,而,,即2,又,.综上所述,对于一切正整数有.10.(2011·广东高考理科·T20)设数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,.【思路点拨】(1)把题中条件变形为,构造成为,转化为等比数列,求得的通项公式,进而求出的通项公式.或用猜想证明的方法解决.(2)利用均值不等式证明.【精讲精析】(1)方法一:由已知得,两边同除

8、以,整理得229,当时有:()令,则是以为首项,为公比的等比数列.由等比数列通项公式得,即从而.当时,有,即是首项与公差均为的等差数列,从而有,得.综上所述方法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,即,∴.(ⅱ)当时,,,,猜想,下面用数学归纳法证明:①当时,猜想显然成立;②假设当时,,则,所以当时,猜想成立

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