初二竞赛辅导专题一：一元二次方程整数根问题(整理)

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1、专题一：一元二次方程整数根问题一.利用判别式例1.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。解：∵方程有整数根，∴⊿=16-16m≥0，得m≤1又∵方程有整数根∴得综上所述，－≤m≤1∴x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x-4x+4=0没有整数解，舍去。而m≠0∴m=1二.利用求根公式例3．（2000年全国联赛）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解：由求根公式得即由于x≠-1，则有两式相减，得即由于x，x是整数，故可求得或或分别代入，易得k=，6，3。三.利用方程根的定义例4.b为何值时，方程和有

2、相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解（考试重点）例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个.解:当a=1时,x=1当a≠1时,原方程左边因式分解,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0即得∵x是整数∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.练习：已知方程有两个不等的负整数

3、根,则整数a的值是？m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．六.构造等式例9.(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程的所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为，则有令x=1，并将三式相加，注意到x≥1（i=1，2，…6），有但a≥1，b≥1，c≥1，又有3-（a+b+c）≤0，∴3-（a+b+c）=0故a=b=c=1七.分析等式例10.(1993年安

4、徽竞赛题)n为正整数，方程有一个整数根，则n=__________.解：不妨设已知方程的整数根为α，则整理。得因为为整数，所以为整数也一定是整数，要使为整数，必有由此得，即解得n=3或-2（舍去）∴n=3。