6.4反三角函数(2)

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1、6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数一、教学目标设计1．理解函数y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+，k∈Z）没有反函数；理解函数y=cosx，x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-，）.2．知道反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]和反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos（arccosx）=x，

2、x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=-arctanx，x∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.二、教学重点及难点教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用.三、教学过程设计一、情景引入反正

3、弦函数：对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[]存在反函数.那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得或y=tanx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在

4、反函数；可以选取闭区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、学习新课（1）反余弦函数和反正切函数的定义：4y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；（2）反正弦函数的性质：①图像y=arccosxy=arctanx②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y=arctanx的定义域是R.③值域：函数y=arccosx的值

5、域是[0，π]；函数y=arctanx的值域是（-，）.④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y=arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y=arctanx是增函数.考虑cos(arccosx)arcos(cosx)tan(arctanx)arctan(tanx)例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）

6、arctan（-）（6）例2．用反三角的形式表示下列各角：①、；__________________________；②、；__________________________；4③、；__________________________；④、；__________________________；⑤、；__________________________；⑥、；__________________________；⑦、；__________________________；⑧、；__________________________；例3．判

7、断下列各式是否成立？简述理由：①、；②、；③、；④、；⑤、；⑥、；⑦、；⑧、；例4．求下列函数的反函数：①、；②、；③、；④、例5．求值：①、；②、；③、；④、；⑤、；⑥、；43．问题拓展例1．证明等式：arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]∴cos[arccos（-x）]=-x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x又因为arccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调

8、递减，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1].例2．证明等式：arctan（-x）=-arctanx，xÎR.证明：因为tanarctan（