用代数式表示变化规律

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1、探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：它们是：Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”——一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”；“分类归纳型”；“递

2、推归纳型”。1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。例1如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。①②③【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：……①②③…上面一层…下面层…下面三层…上面一层…上面一层...下面两层…上面一层…下面一层……第个:解:应选.10根10根10根例2如图,是用

3、火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时,共需要摆根火柴棒.……-12-【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:…(1)(2(3)(4)(10)涂色三角形1…归纳概括:的个数:解:应填165.【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。例3世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左

4、边数第3个位置上的数是（）A、B、C、D、【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，，如第7行中，依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为；第10行左数第2个数为，第10行左数第3个数应为解：应选B。【说明】在本题，研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。例4探索的正方形钉子板上（是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：-12-当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不

5、同长度值的线段只有2种，若用表示不同长度值的线段种数。则当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有五种，比时增加了3种，即。（1）观察图形，填写下表：钉子数值22+32+3+（）（）（2）写出和的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。（3）对的钉子板，写出用表示的代数式。【观察与思考】当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有。（这些是时已有的），（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）；时比时多出3个种数；时比时多出4个种数;……时比时多出个种数;-----(

6、第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.解:(1)两个括号内应分别埴:4;2+3+4+5;(2)的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种;(3).2、分类归纳型思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。例5观察下列等式：，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是。【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：个位数字2的乘方2…归纳概括为（为自然数，下同）4…归纳概括为6归纳概括为8归纳概括为而，个位数字应为6。解：

7、个位数应为6。-12-例6如图，已知，，…，则点和点的坐标分别为；。4-3-2-42【观察与思考】要求点的坐标，一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距离，对本题我们也可以从这两步来研究。第一步，可以看出除了点外，其他各点均在象限内。按象限分类：所在象限点一归纳概括为（为自然数）二归纳概括为三归纳概括为四归纳概括为由，可知在第二象限，在第三象限。第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：（1）第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的；（2）就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：点…归纳概括为

8、坐标的绝对值123……由知其坐标的绝对值应为；由，知其坐标的绝对值应为502；将第一步和第二步结合，可得和的坐标。解：的坐标为，的坐标为。【说明】由以上两题的思考过程可以看出：归纳概括是一个积极的活动过程，要观察、要重新分类（分类也是找共性），以便