初等数论总复习资料及试题

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1、初等数论学习总结  本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系,因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说,是一门有着重要意义的课程,在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的.一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解,更深入地理解某些他邻近学科,另一方面,也许更重要的是可以加强他们的数学训练,这些训练在很多方面都是有益的.正因为如此,许多高等院校,特别是高等师范院校,都开设了数论课程。最后,给大家提一点数论的学习方法,即一定不能忽略习题的作用,通过做习题来理解数论的方法和技巧,华罗庚教授曾经说过如果学

2、习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用,则相当于只身来到宝库而空手返回而异。数论有丰富的知识和悠久的历史,作为数论的学习者,应该懂得一点数论的常识,为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。初等数论自学安排 第一章:整数的可除性(6学时)自学18学时   整除的定义、带余数除法   最大公因数和辗转相除法   整除的进一步性质和最小公倍数   素数、算术基本定理   [x]和{x}的性质及其在数论中的应用   习题要求:2,3;:4;:1;:1,2,5;:1。 第二章:不定方程(4学时)自学12学时   二元一次不定方程   多元

3、一次不定方程   勾股数   费尔马大定理。   习题要求:1,2,4;:2,3。 第三章:同余(4学时)自学12学时   同余的定义、性质   剩余类和完全剩余系   欧拉函数、简化剩余系   欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用   习题要求:2,6;:1;:2,3;1,2。 第四章:同余式(方程)(4学时)自学12学时   同余方程概念   孙子定理   高次同余方程的解数和解法   素数模的同余方程   威尔逊定理。   习题要求:1;:1,2;:1,2。 第五章:二次同余式和平方剩余(4学时)自学12学时   二次同余式   单素数的平方剩余与平方非剩余 

4、  勒让德符号   二次互反律   雅可比符号、   素数模同余方程的解法   习题要求:2;:1,2,3;:1,2;:2;:1。 第一章:原根与指标(2学时)自学8学时   指数的定义及基本性质   原根存在的条件   指标及n次乘余   模2及合数模指标组、   特征函数   习题要求:3。第一章整除一、主要内容  整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n!的标准分解式。二、基本要求 通过本章的学习,能了解引进整除概念的意义,熟练掌握整除整除的定

5、义以及它的基本性质,并能应用这些性质,了解解决整除问题的若干方法,熟练掌握本章中二个著名的定理:带余除法定理和算术基本定理。认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据,掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。能熟练求出二个整数的最大公因数和最小公倍数,掌握高斯函数[x]的性质及其应用。三、重点和难点(1)素数以及它有关的性质,判别正整数a为素数的方法,算术基本定理及其应用。(2)素数有无穷多个的证明方法。(3)整除性问题的若干解决方法。(4)[x]的性质及其应用,n!的标准分解式。四、自学指导  整除是初等数论中最基本的概念之一,b∣a的意思是存在一个整数q,使得等

6、式a=bq成立。因此这一标准作为我们讨论整除性质的基础。也为我们提供了解决整除问题的方法。即当我们无法用整除语言来叙述或讨论整除问题时,可以将其转化为我们很熟悉的等号问题。  对于整除的若干性质,最主要的性质为传递性和线性组合性,即(1)a∣b,b∣c,则有a∣c(2)a∣b,a∣c,则有a∣mb+nc  读者要熟练掌握并能灵活应用。特别要注意,数论的研究对象是整数集合,比小学数学中非负整数集合要大。  本章中最重要的定理之一为带余除法定理,即为设a是整数,b是非零整数,则存在两个整数q,r,使得  a=bq+r(0)  它可以重作是整除的推广。同时也可以用带余除法定理来

7、定义整除性,(即当余数r=0时)。带余除法可以将全体整数进行分类,从而可将无限的问题转化为有限的问题。这是一种很重要的思想方法,它为我们解决整除问题提供了又一条常用的方法。同时也为我们建立同余理论建立了基础。读者应熟知常用的分类方法,例如把整数可分成奇数和偶数,特别对素数的分类方法。例全体奇素数可以分成4k+1,4k+3;或6k+1,6k+5等类型。  和整除性一样,二个数的最大公约数实质上也是用等号来定义的,因此在解决此类问题时若有必要可化为等式问题,最大公因数的性质中最重要的性质之一为a=bq+c,则一定有(a,b)=(b

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