三次函数的对称性

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1、三次函数的对称性二次函数是轴对称图形，如的）对称轴方程式是。三次函数是奇函数，其图象关于对称，三次函数的图象关于点对称，那么对于一般的三次函数有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是。下面给出证明。证明1：二次函数通过配方可以消去一次项。类似得，三次函数通过配方可以消去二次项。而的图象关于对称。证明2：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

2、（Ⅰ）已知函数，。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段（Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。（2010福建理）记函数的图象为曲线，类似（Ⅰ）（ⅱ）的正确命题为：若对对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为，则为定值证明如下，因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中平移至坐标原点因而不妨设，类似的计算可得，，，故