《用直角三角板拼多边形》问题的研究

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1、《用直角三角板拼多边形》问题的研究l一2左数学教学2011年第1期《用直角三角板拼多边形》问题的研究315040浙江省宁波市江东区教育局教研室潘小梅我们知道,若干块全等的三角板一定能镶嵌平面,那么用若干块全等的直角三角板能拼成哪些凸多边形呢?本文中所指的直角三角板是学生熟悉的含30.的直角三角板和含45.的直角三角板,拼的原则是各块三角板之间既不重叠也不留空隙.我们不妨从最简单的情形开始研究:用若干块全等的直角三角板拼三角形.若单用若干块全等的含45.的直角三角板,能拼成无数个大小不同的三角形,但拼成的三角形其内角度数只能是45.,45.,90.,因此内角度数不同的三角形只有一种

2、;若单用若干块全等的含30.的直角三角板,拼成的三角形内角度数有以下3种:'(1)30.,30.,120.;(2)30.,60.,90.;(3)60o,60o,60o.对应的图形如图1.(1)(2)(3)图1同样地,如果用更多块数的三角板,也只能拼成与上述三角形内角度数完全相同的三角形.因此我们约定研究的是拼成内角度数不完全相同的多边形.现在,我们继续探索:用若干块全等的直角三角板拼四边形.若单用含45.的直角三角板,计算可得,拼成的四边形有以下3种:(1)45.,45.,135.,135.;.(2)45.,90.,90.,135.;(3)90.,90.,90.,90.拼成的图形

3、对应如图2.(1)(2)(3)图2但是,即使拼成内角度数完全相同的四边形,它们也未必是相似的图形,比如以上(1),(2)两种内角度数的图形还可以如图3这样拼.//l/图3因此,我们进一步约定研究的目标是:用最少的三角板块数拼出内角度数不完全相同的多边形.那么,还有没有其他内角度数不同的四边形呢?事实上,用含45.的直角三角板拼成小于平角的角只有3种,即45.,90.,135.,这3个角都是45.的整数倍,也就是说拼成的四边形的内角度数一定是45.的整数倍.不妨设四边形的4个内角分别是45Xl,45x2,45x3,45x4(1≤Xl≤2≤X3≤X4≤3,且为整数,i=1,2,3

4、,4).根据四边形的内角和度数为360.可知,45xl+45x2+45x3+45x4=360.化简得1十2十X3+X4=8(1≤Xl≤X2≤X3≤X4≤3,且i为整数,i=1,2,3,4).…………………(1)方程(1)的整数解只有3组,分别为(1,1,3,3),(1,2,2,3),(2,2,2,2),对应的内角度数分别为(45.,45.,135.,135~),(45.,90.,90.,135~),(90.,90O,90.,90.),所以,用含45.的直角三角板只能拼成3种内角度数不同的四边形.2011年第i期数学数学1.25.那么,若单用含30.的直角三角板能拼成哪些内角度数不

5、同的四边形呢?类似地,我们容易分析得到,用含30.的直角三角板能拼成的小于平角的角有30.,60.,90.,120.,150.共5种,它们都是30.的整数倍,因此我们可以设拼成的四边形的内角分别是30xl,30x2,30x3,30x4(1≤Xl≤X2≤X3≤4≤5,且为整数,i=1,2,3,4).根据四边形内角和为360.得,30xl+30x2十30x3+30x4=360.化简得1+2+3+X4=12(1≤Xl≤X2≤3≤z4≤5,且t为整数,i=1,2,3,4).???(2)方程(2)的整数解有8组.根据它的解可确定四边形的内角度数,再根据内角度数用最少的块数拼l拙相应的图形如

6、下方程的整数解对应的4内角度数拼成的四边形rXl=1,r1=30.,1J.=l,JZ2:30.,1z3=5,13:15o.,//【4:5.【4:150..Lf1=1,r1=30.,2J.:2,JA2:60.,1z3:4,13:120.,/7【4:5.【4:150..rXl1,r1=30.,3Jz=3,JA2:90.,卜.:一.,1Z3:90.,/LX4=5.【4:150..fXl=1,rl=30.,4J:3,J2:90.,13:4.1Z3:120.,【4:4.【4:l2o..fXl=2,r1=60.,5J2:2,JA2:60.,1.:3,13:90.,/【4:5.【4:

7、150../rXl:2,r1=60.,6Jz.:2,J2:60.1如:4,13=120.,【4:4.【4:120..f2,r1=60.,7J2=3,JA2:90.,13:3,13=90.,【.:4.L4:120~.rXl=3,r1=90.,8Jz=3,JZ2:90.,13=3,1Z3:90.,【4:3.【4:9o..用直角三角板能拼成三角形,四边形,那么是否能拼成任意边数的凸多边形呢?答案显然是否定的.先看单用含45.的直角三角板拼多边形,因为单用含.45.的直角三角板拼成的小